Les notions mathématiques que l’on devrait tous connaître !
Les notions de bases, mais qu’est ce qu’il peut bien vouloir désigner ? C’est la question qu’on se pose dès qu’on parle de base de quelque chose.
Et justement, c’est ce que j’aimerais interroger, quelles sont les notions mathématiques de bases, pourquoi si elles existent ne les étudions nous pas dès le début de nos études ?
Par notions mathématiques je vais aussi ici parler des notions du métalangage utilisé (histoire de prévenir |tout de suite dès le début ! 
)
Donc, quelles sont , à mon humble avis personnel, les notions de bases que toute personne se destinant à faire des mathématiques devrait connaître ?
Les quantificateurs
Si vous avez déjà fait des mathématiques niveau lycée (je ne crois pas qu’au collège on les utilise) ou bien si vous êtes curieux, vous serez déjà tombés sur eux, les quantificateurs !
Ils sont deux : $\forall$ et $\exists$.
Ils sont indispensables à qui veut formaliser ses idées, c’est simple au-dessus du lycée ils sont partout ! (Et pour qui aime la logique, on les trouve dès le premier ordre (Pas celui de star wars bandes d’oranges 
))
Pour ceux qui ne les connaissent déjà pas :
- $\forall$ permet de désigner l’universel, par exemple : tous les humains ont deux pieds, chaque réel non nul à un inverse…
- $\exists$ permet (au contraire) de désigner le particulier : il existe des chats noirs, il existe des citrons avec des taches…
Malheureusement, ils ne sont pas bien compris, en effet, même en deuxième année de licence informatique, certains oublient encore ce qu’ils désignent 
, ou moins pire, les inversent. Or ils sont quand même présents dans toutes les formules formelles et donc dans tous les cours se voulant précis.
Ils sont d’après moi indispensables, car justement, pour être précis et compréhensible par tous en sciences (et parce que c’est classe) il faut bien formaliser sa pensée et la décrire universellement.
Les notions ensemblistes:
Les ensembles et leurs éléments
On est censé apprendre la notion intuitive d’ensemble en seconde générale et technologique (d’après le B.O):
Notations mathématiques Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant : ∈,⊂,∪,∩ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités.
Or, jusqu’en Terminale on n’utilise quasiment jamais les ensembles réellement, au pire on parle de l’ensemble des réels, mais on ne dira jamais une idée intuitive comme : Un ensemble est une collection d’éléments, ayant des propriétés communes. (On peut ne pas être d’accord).
Or savoir ce qu’est un ensemble, au moins intuitivement (c’est le cas jusqu’en Math spé) est indispensable pour mieux comprendre comment marche les sciences qui les utilisent ! Même seulement pour les appliquer, si on ne sait pas bien à quoi on applique, on est mal barré.
Il est aussi bon de connaitre au moins une des relations des ensembles : l’inclusion, savoir ce que c’est qu’un sous ensemble, et les liens entre deux ensembles. Pour au moins pouvoir en construire de nouveaux.
Les opérations de base sur les ensembles
Complémentaire
Si on connait un ensemble, un de ses sous ensembles, savoir construire son complémentaire permet d’aborder les partitions, de plus la notion est intuitive : Les éléments qui n’ont pas la propriété, face aux éléments qui l’ont.
On peut apprendre ça très tôt, donc le formaliser.
Intersection et Union
Les deux opérations de bases, en plus leur transcription logique est assez simple, elles permettent de faire le lien justement entre ensemble et logique formelle, donc formalisation de l’écriture.
- L’intersection qui est simplement : Les éléments qui sont à la fois dans l’ensemble 1 et dans l’ensemble 2.
- L’union : Les éléments qui sont dans l’ensemble 1 ou dans l’ensemble 2, en prenant en compte chaque élément une seule fois.
Les ensembles sont une partie pouvant être très compliquée si mal expliquée, mais si on l’apprend au moins intuitivement, comprendre les raisonnements de la théorie mathématiques est déjà bien plus simple et cette démarche ne demande en plus pas grand chose. Et vu qu’actuellement ils sont quand même considérés comme une base, c’est dommage de n’en entendre vraiment parler que si tard.
La logique
Pourquoi ?
Parce que les mathématiques c’est logique 
. Parce que sans logique on ne va nulle part, apprendre la logique intuitivement, le langage logique au moins, c’est se donner les moyens de comprendre des énoncés que la plupart considèrent comme de la soupe de symbole et en plus cela permet de penser de manière cohérente ! (La logique c’est pas tabou, on en viendra tous au bout)
Comment ?
Avec les opérateurs de base pardi ! Sans rentrer dans les tables de vérités, les propositions équivalentes, les tautologies, le Modus ponens ou bien tout ce qui est fait, juste savoir mettre en forme une proposition et les comprendre.
Il n’est pas compliqué d’apprendre ce que veut dire et , ou, non . N’importe qui peut au moins connaitre les trois principaux opérateurs et se trouve alors capable de déchiffrer une grande partie des théories de bases en logique.
Après ça, apprendre l’implication, c’est se donner les moyens de comprendre la plupart des raisonnements mathématiques. Et après ça, l’équivalence c’est une partie de plaisir, le tout sans rentrer dans les détails les plus abstraits de la logique du premier ordre et tout.
Pour conclure, sur ce sujet qui est un peu un coup de gueule contre l’éducation nationale je l’accorde volontiers, je pense qu’il serait nécessaire de proposer des cours sur ces notions de bases.
Cela permettrait d’offrir un grand verre de savoir à tout les sciento-zesteux en devenir et en plus, permettrait d’offrir un cadre formel pour tout les cours de mathématiques et tout les cours qui veulent introduire une formalisation qui peut paraître douteuse si non expliquée ! (Cours d’informatique théorique sur les langages, les algorithmes, cours de math sur les structures algébriques..)
Voilà, ce petit coup de gueule / billet me permet donc aussi de demander si des cours de ce niveau serait les bienvenus et demandés, car en cherchant il y’a plein de cours qui utilisent la formalisation sans jamais vraiment l’expliquer, ce qui est bien normal ce n’est pas leur but, mais en même temps, on passe à coté d’une grosse part des mathématiques.
Merci pour votre lecture et n’hésitez pas à me signaler des incohérences ou critiques.
.
