A la quête du savoir !

Je pensais que c’était un moyen mnémotechnique. Mais de toute façon pas mal de gens le prenaient comme un moyen mnémotechnique (en tout cas dans ma classe). Cela montre du coup qu’il n’y a pas eu une véritable compréhension du sujet.

Oh, ça faisait longtemps ! (Bonjour/Bonsoir !)

Je me permets une nouvelle fois de faire remonter ce sujet car il s’est passé bon nombre de choses depuis bientôt une année. Avant tout, je me dois de vous répondre (chose que j’ai accidentellement omise à l’époque, je m’en excuse). Je pense d’ailleurs que l’on pourra sans doute voir un (léger ?) contraste concernant la façon de voir les choses et de les penser depuis la dernière fois.

Merci beaucoup Karnaj, et je suis entièrement d’accord avec toi concernant la différence compétence/connaissance. C’est d’ailleurs quelque chose qui me travaille beaucoup, certaines fois je vois flou et j’ai du mal à faire la distinction entre ces deux notions (d’un point de vue pratique et non théorique)(tout comme l’a énoncé Craw). Vis-à-vis du fait essentiel de mémorisation de ce que l’on apprend (initié par Craw), je fais tout pour. Étonnement sans trop faire d’effort, j’arrive plutôt bien à tout retenir et lorsque j’ai du mal avec une notion, j’ai une sorte de tic : à divers moments de la journée, je recopie dans un mouvement saccadé inopiné, sur le support que j’ai sous la main, ce que j’avais du mal à retenir. Mais dans tous les cas, lors d’exercice, je me force à recopier un premier modèle type complet (peut-être trop certaines fois) afin d’au fur et à mesure savoir (à moitié) inconsciemment de quoi je parle sans même y réfléchir. Laisser agir l’inconscient en d’autres termes.

Je comprends pas bien, c’est quoi la différence? Ça fait pas partie de la connaissance que de savoir l’utiliser ? Normalement si, surtout en maths où on passe énormément de temps à s’exercer

La différence entre connaissance et compétence me paraît à la fois grosse et subtile (et bien évidemment très subjective). La compétence implique la connaissance mais la réciproque n’est pas obligatoirement vraie. Ensuite, si par "l’" tu parles d’un objet abstrait faisant référence à une compétence quelconque, alors oui, totalement. Mais, par ce fait, je doute que l’on puisse admettre une "égalité"/"équivalence" entre connaissance et compétence.

Et finalement, A-312, je ne vois pas pourquoi je perdrais mon temps, au contraire je trouve que c’est un excellent "compromis" temps / (connaissance + compétence). Simple exemple, si dans mon apprentissage j’avais eu pu faire une erreur non remarquée (tout d’abord ce serait inquiétant) mais je pourrais y pallier justement lorsque le cours sera scolairement (re)vu. Et puis je ne considère rien comme une perte de temps. Pour le C++, à vrai dire, il y a quelques temps je ne faisais du Python ou du Fortran uniquement pour les libs alors que je n’aime pas tant que ça ces deux langages. Le C++ m’a toujours beaucoup intéressé, "je prêche ma paroisse" (comme a eu pu le dire quelqu’un il y a aujourd’hui longtemps). Si aujourd’hui je devais choisir : pourquoi pas D ?

Pourquoi m’adresser à vous ores ? Je pense être de nouveau prêt à formuler mes idées et avoir de nouveau "grandement" besoin d’aide. Je ne veux absolument rien laisser au hasard (au risque de faire grincer les dents de certains, je ne pense pas que le hasard ait sa place, c’est une simple conviction personnelle, mais ne croyez pas que je suis un convaincu partisan du déterminisme laplacien, quoique, qui sait).
Je me permets donc de vous solliciter aujourd’hui vis-à-vis d’un sujet qui me tient particulièrement à coeur (vous aurez sans doute eu une idée du sujet, et je ne poste pas sur ce topic "par hasard"). Bien évidemment, la relation avec la Mathématique est fermement établie.

Depuis le temps (une année bientôt), je pense avoir progressé (il y a quelques exemples dans l’avant dernier paragraphe, celui traitant de ma motivation). Je commence à sérieusement m’intéresser à la topologie (tout d’abord algébrique) [il faudra que je pose une question quand j’aurai fait plus de recherche d’ailleurs]. J’ai également fini le No Bullshit Guide to Math & Physics, et je devrais bientôt commencer le No Bullshit Guide to Linear Algebra. De plus j’ai bien entamé le livre sur les espaces métriques de chez Springer (très abordable je trouve). J’ai également eu pu faire quelque peu d’analyse fonctionnelle et contre toute attente, j’ai pu utiliser (à très faible niveau) la transformée de Laplace (il en était question il y a dans les premiers messages du topic il me semble). J’ai également pu regarder les trois premiers cours de "L’introduction à la relativité générale" de Richard Taillet (j’ai adoré d’ailleurs), et toute une pléiade de conférences (IHES), sans oublier un nombre assez conséquent d’ouvrage/de vidéos de vulgarisation (comme vous le recommandiez). J’ai conséquemment abordé le côté plus "culturel" de la Mathématique (histoires, chercheurs actuels, domaines de recherches actuels, grandes idées, courants […], liens plus ou moins "occultes" (mais en réalité pas du tout) (que ce soit avec la langue, les idées, l’art[…])). Il y a aussi la théorie des catégories qui m’intéresse beaucoup.

Je me souviens d’une conférence où Cédric Villani parlait du livre "La géométrie du triangle", à son sujet il disait clairement que ça ne lui servait concrètement à rien, mais que c’est ainsi qu’il a commencé à façonné son esprit (un peu à la manière des jeunes grecs vis-à-vis de la grammaire concernant l’importance de l’éloquence, il y a approximativement deux millénaires). Ce serait peut-être plutôt ça mon but, façonné mon esprit, le rendre plus "fort", plus agile, etc.

Me revoilà donc, car beaucoup de temps est passé et que je pense avoir (radicalement) changé. Je ne suis plus seulement en quête de connaissance, je suis désormais également en quête d’aide. Aide sur tous les plans, que ce soit par vos expériences, anecdotes(ce qui a eu pu vous arriver), recommandations ou que sais-je. Tout ceci, dans le but de mieux préparer le mieux possible pour le futur, à un probable avenir (d’enseignant-) de chercheur en Mathématique fondamentale (j’ai déjà quelques idées en tête, mais c’est beaucoup trop tôt pour y penser, un des rares sujets qui ne m’intéresse aujourd’hui que très peu est celui qui englobe les probabilités).

Je souhaiterais donc vous questionner sur vos expériences et avis/tip(p)s (que ce soit sur votre parcours ou toute autre chose qui puisse vous venir en tête) dans le but de mieux comprendre ce qui m’attend. C’est dit d’une manière un peu barbare et floue, non ? Je vais essayer d’être plus clair et précis. Depuis le temps que j’observe les messages de ce forum (plus d’une année), les réactions et façons d’être des membres de ce dernier, je pense avoir trouvé l’endroit le plus approprié afin de faire ma demande. J’ai beaucoup de respect pour vous et vos façons d’être (n’y voyez pas un quelconque comportement hypocrite ou flatteur, je suis sincère). Mais quelle est donc (plus précisément) ma demande ? En partant du postulat ci-dessus (du début du paragraphe à "Mais quelle est donc (plus précisément) ma demande ?"), on peut en déduire un corollaire : Vous êtes nettement plus informés que moi sur la manière de faire, appréhender, comprendre, penser la Mathématique post-bac. Cela étant dit, vous aurez, sans doute, une petite idée d’où je souhaite en venir. J’ai pour ambition de me préparer du mieux que je le pourrais vers ce qui m’attend (dans un avenir relativement proche)(je vise une ENS (probablement celle de Pise ou dans le meilleur des cas Ulm), cela fait plusieurs années que j’ai cette idée en tête). C’est la chose qui me tient le plus à coeur et je suis prêt à tout pour réussir (en terme de travail). Je pourrais très bien me lancer, tête baissée, sans réellement comprendre l’ensemble des subtilités, nonobstant cette idée me déplaît. Je veux faire le moins d’erreur possible. J’ai donc de nouveau besoin de vous.

En plus de tout ce qui a pu être précédemment dit, j’aimerais vous demander s’il était envisageable (et surtout si certains en auront l’envie) d’avoir des sortes de "mentors" ? Dans tous les cas, je compte désormais poster ici des messages afin de voir si j’ai bien compris une notion ou plus simplement poser des questions et peut-être même (dans un avenir plus ou moins proche et tout d’abord dans une moindre mesure) aider, lorsque j’en serai capable. J’ai d’ailleurs cru comprendre que le quotidien d’un chercheur en mathématique est à la fois très collaboratif sans exclure le fait qu’il puisse être très solitaire, est-ce (majoritairement) vrai ?

Afin de vous prouver ma motivation, je suis en possession aujourd’hui de plus de 800 pages manuscrites de raisonnements/calculs [et 300 pages d’exercices, oui, je garde tout](relativement variés, concernant les thèmes, quelque peu d’analyse fonctionnelle, pas mal de géométrie (ainsi qu’un peu de riemannienne), pas mal d’analyse, pas mal d’informatique théorique, un peu de théorie des catégories (enfin… ça ne vaut pas son pesant d’or) et quelque peu de réflexion en tous genres) et j’ai quelques bribes de "papiers" LaTeX (une pseudo-mathématisation de concepts littéraires (sophismes et antithèses) basée sur une théorie axiomatique, une idée sur une "sorte" de plongement de Nash-Moser (pas du tout en fait, mais c’est de là que m’est venu l’idée et je ne sais pas comment le présenter) et un petit travail sur l’arithmétique de Peano). Je re-précise que ça ne vaut peut être pas grand chose (très certainement d’ailleurs) mais c’est par la pratique, ce genre de projet que j’ai eu pu quelque peu "progresser". (Et je sais que ce n’est pas la quantité qui fait la qualité, mais ça me paraissait probablement intéressant de dire ça.)

PS: Comme vous aurez pu le remarquer je suis toujours incapable de faire des messages courts ou même me rendre d’un point A à un point B par le plus court chemin (même si les notions de géodésique et de géométrie non euclidienne m’intéressent énormément, mais c’était hors sujet), je m’excuse pleinement si j’ai pu être redondant quelques fois(ou la majeure partie du temps) ou bien que vous ayez eu l’impression de perdre votre temps, mais c’est ainsi que je m’exprime. J’espère ne pas trop avoir fait de fautes et que c’était malgré tout un minimum agréable à lire. J’ai un sérieux doute si tout ce que j’ai eu pu dire est très compréhensible.

PS2: Le but de ce message était à la fois de vous "montrer" un peu comment j’ai "progressé" et de vous poser quelques questions.

Respectueusement,

Garnier Mathias.

(je vise une ENS (probablement celle de Pise ou dans le meilleur des cas Ulm), cela fait plusieurs années que j’ai cette idée en tête)

Juste pour info, l’ENS de Pise, ou plutôt devrait-on dire la SNS (scola normale superiore) de Pise ne se fait pas en préparant le concours type ENS. C’est pour les italiens, c’est dans leur système particulier à eux.

Plus globalement, il est un peu tôt pour ce genre de questions …

J’ai d’ailleurs cru comprendre que le quotidien d’un chercheur en mathématique est à la fois très collaboratif sans exclure le fait qu’il puisse être très solitaire, est-ce (majoritairement) vrai ?

Ça dépend des personnalités.

En plus de tout ce qui a pu être précédemment dit, j’aimerais vous demander s’il était envisageable (et surtout si certains en auront l’envie) d’avoir des sortes de "mentors" ?

Avant d’en arriver à rechercher un mentor, ce serait plus intéressant pour toi (et plus facile pour nous) que tu poses des questions auxquelles on peut répondre (des maths que tu n’as pas comprise, j’entends).

Juste pour info, l’ENS de Pise, ou plutôt devrait-on dire la SNS (scola normale superiore) de Pise ne se fait pas en préparant le concours type ENS. C’est pour les italiens, c’est dans leur système particulier à eux.

https://www.ens.fr/une-formation-d-exception/formations/echanges-internationaux/echanges-bilateraux (J’ai été maladroit.)

Plus globalement, il est un peu tôt pour ce genre de questions …

Entièrement d’accord, en y repensant ça pourrait même être vu comme de la prétention. Mais du tout, loin (très loin) de là, je vois ça comme un rêve. Candeur, naïveté ? Peut-être, mais j’y crois.

Avant d’en arriver à rechercher un mentor, ce serait plus intéressant pour toi (et plus facile pour nous) que tu poses des questions auxquelles on peut répondre (des maths que tu n’as pas comprise, j’entends).

En ce moment, j’essaie de m’initier aux espaces métriques (sujet général du livre que je lis). Plus précisément, dans un exemple il était question de "p-norme" (équivalents de $L^p$-norme semblerait-il). Je ne me "risque" pas encore à poser des questions, car pour l’instant je réussis les exercices et je comprends (j’en ai du moins l’impression, mais ça me semble bon). On m’a également proposé de pencher sur le lambda-calcul ( ), chose que je vais faire. Et je vais avoir trois documents sur l’algèbre linéaire (un livre et deux polycopiés). Et j’essaierai de me procurer des ouvrages/articles (de vulgarisation) de Poincaré et Euler. (Et ne croyais pas que je ne fais que ça ^^’. Comme dit il y a longtemps, on me conseillait (et j’acquiesce fermement) de ne faire ça que sur une partie de mon temps libre, j’ai le temps de sortir, faire du sport, lire[…]. Simple précision quoi-qu’inintéressante.).

Sans vouloir rentrer dans le culte, oh ! combien grotesque lorsqu’il est utilisé à tort et à travers, ce qui est malheureusement bien trop souvent le cas, du pitch, pardonnez l’expression anglaise, bien que je n’aie rien en soi contre les anglais, c’est assez triste de constater la présence de plus en plus grande de mot anglais dans le vocabulaire français, bien que ce ne soit pas nouveau, puisqu’on disait déjà la même chose il y a fort longtemps à propos de l’italien dans la langue française, je ne saurai trop te conseiller, bien que ça n’a rien à voir avec les mathématiques, oui, je dis les mathématiques, et il me semblait qu’à part Villani, tout le monde disait cela, et j’ignore si c’est une mode qu’il a lancé, si cela a un vrai sens, où s’il s’agit d’une habitude, un moyen, qui sait ?, de se distinguer, au risque de passer pour un pédant, ce qui, vous en conviendrez, est à éviter, de prendre garde à la manière dont tu transmets une information ; en effet, indépendamment de la longueur, que ce soit du texte ou de la phrase, même si cela n’aide pas, un texte ponctué de parenthèses, sans fil rouge ni direction claire, est compliqué à comprendre, ce dont tu te douteras aisément après avoir lu ce message, si je l’ai bien, c’est-à-dire correctement mal, écris.

Je crois que ça va être très difficile de comprendre quoi que ce soit d’intéressant en mathématiques sans avoir un peu compris pour l’algèbre linéaire était importante.

oui, je dis les mathématiques, et il me semblait qu’à part Villani, tout le monde disait cela, et j’ignore si c’est une mode qu’il a lancé, si cela a un vrai sens

Il y a un laïus dessus dans la préface au dictionnaire de François Le Lionnais, bilan des courses c’est lié à la question de savoir si les maths sont une collections de savoir plus ou moins connectés ou bien un tout bien homogène (La Mathématique, donc).

Oh, ça fait (une fois de plus) longtemps !

Ce jeune de 14 ans que j’étais a grandi, j’ai désormais 17 ans. Et il s’en sont passées des choses… (À tel point que ce qui fut initialement mon objectif est tombé en total désuétude, j’ai même développé une certaine "attitude de retrait" vis-à-vis de la physique (dans une optique scolaire), mais la tendance commence à s’inverser.) De votre côté il a dû se passer incroyablement beaucoup de choses (si certains sont tentés de montrer l’évolution de leur parcours depuis, disons, 2017, ce serait avec plaisir que je le lirai). Toujours vous concernant, je ne peux que souligner et remarquer votre bienveillance, celle que vous avez eu à mon égard mais également concernant bon nombres d’autres personnes (et même entre vous)¹.

L’impétueux et turbulent garçon que je pouvais être se recadre (au moins) un peu. Il ouvre quelque peu les yeux et se rend compte des diverses questions qui, il y a trois années de cela (2 ans et demi plutôt), lui été restées invisibles. Le 13/04/2017, Holosmos écrivait : "tu es très évasif sur tes objectifs et les contraintes que tu te mets". À vrai dire, cette entreprise, cette quête du savoir ne m’a jamais semblé être dans la veine de ce que l’on appelle "travail", tout au contraire, ce fut et c’est encore un loisir (d’où le fait que mes objectifs et contraintes furent, au mieux, absents, au pire, mal définis²).

Sans doute les paroles, justement, évasives que j’eus employé témoignaient d’un recul non suffisant.

Lorsque j’ai cherché à pallier à ce problème j’estime avoir commis une grave erreur : j’avais une conception bien trop "quantitative" des objectifs, pas suffisamment "qualitative". Je me rends par ailleurs compte que j’ai plus une sorte de culture générale qu’une connaisance bien spécialisée (ce qui, en soit, est logique).

Aujourd’hui, je n’apprends clairement pas pour apprendre, je ne cherche à apprendre une chose que quand elle m’est utile, quand il se pourrait qu’elle résolve une question ou du moins apporte un élément de réponse à un problème. À titre d’exemple, dans les balises secrètes, je vais mettre quelques petits exemples.

Après, beaucoup d’autres choses se sont passées, et je ne suis pas certain de devoir nécessairement en parler (maintenant; ici, je n’ai parlé que de choses qui ont moins d’un mois). Ah, si, peut être une petite chose : on m’a fortement recommandé de passer le concours général, mais si sur l’idée, j’avoue être gêné, je m’y suis tout de même inscrit (suite à un pari). Il se pourrait ainsi que je pose quelques questions dans les trois mois qui viennent; mais, j’aimerais enfin avoir l’occasion d’aider quelqu’un et de "rendre l’appareil". Nous verrons bien !

Je voulais dire plein d’autres choses, mais, je ne pense pas que cela soit utile; je vais, cette fois-ci, bien plus laisser le temps parler et nous verrons bien !

Je me demande bien quel profil j’aurais la prochaine fois que je ferai remonter le sujet. Et, je ne pense pas que ce soit bien utile que de le dire, mais je me suis découvert une passion pour le problème de déterminer la spectrum of the determinant function.

Respectueusement, Garnier Mathias.

C’est très intéressant ton histoire de chaussettes.
Çà me fais penser à Einstein, qui avait une façon toute personnelle de faire mûrir ses idées. Il avait analysé (et décrite) sa façon de procéder. Etienne Klein relate cela dans certaines de ses conférences.
Peut être que ça te serait profitable que tu analyses comment te viennent tes idées, dans quelles circonstances etc.
Bonne chance au concours général (en mathématique, série S -si ça existe encore-) ça te permets de te situer et si si tu te classes bien, ça fera plaisir a tes profs, et c’est un plus pour aller dans une prépa, au cas où ce serait dans tes objectifs.
Je voudrais aussi te conseiller de ne pas faire que des maths, les "humanités" sont précieuses au développement des personnes (en fait, je pense que c’est vital). Donc, un minimum de philo, d’histoire, de lettres classiques … en tant que divertissement. Avec si possible une pratique artistique et/ou une pratique sportive.
J’écris cela parce que je me suis rendu compte qu’en prépa, on m’avais appris à travailler pour les concours d’entrée, mais certainement pas à comprendre.

J’ai un peu réfléchi pour l’histoire de chaussettes et, il semblerait que l’on puisse construire des objets (pas du tout réguliers) qui littéralement "passent à travers les mailles du filet" (dans la mesure où la probabilité déterminée de la géométrie de l’objet n’a clairement rien à voir avec l’objet en question). (Par exemple pour des objets "en pique", on aurait ce problème.) (Par ailleurs, je me suis demandé si il n’y aurait pas un lien (au moins conceptuel) avec l’aiguille de Buffon (?).)

Merci beaucoup, pour le concours général je vais lire cela, il y a vraiment beaucoup d’exercices et moi qui suis vraiment mauvais en géométrie euclidienne, je vais pouvoir me mettre à jour. (En plus de cela je relis une fois, un soir, par semaine tous les programmes de Terminale S, et j’essaie de faire pas mal d’exercices et pourquoi pas faire un Concours Général par semaine.) (Et je ne suis pas du tout dans l’objectif CPGE, je trouve la faculté bien plus intéressant (surtout dû à un parcours "Parcours Spécial Mathématiques").)

Et oui, je suis entièrement d’accord avec toi quant à une approche ouverte et non seulement axée sur les Mathématiques. À simple titre d’exemple, j’ai obtenu une bourse pour partir en Italie, le thème portait sur la littérature médiévale (et plus précisément Dante Alighieri). De cela a découlé un rapport (Dante, ses traces en Toscane et quelques aspects de son oeuvre, je mets dans une balise secrète le sommaire pour les intéressés).

Et ce n’est pas tout, vu que j’avais encore vraiment beaucoup de matière et d’idées pour continuer, un deuxième est en préparation (bien plus propre, rigoureux et volumineux). De plus, dans ma classe, il y a un garçon qui aime vraiment l’Histoire et on s’y met à deux cette fois ci pour ce deuxième volume, dont le nom est : Langage et symbolique en Italie durant les secoli bui.

Et j’aimerais bien participer à cette conversation (il faut que je prépare un message sur le pourquoi du comment j’assimile les surréalistes au terme "imposture").

Mais, du coup, tu en es où ? Tu as fini ta prépa ?

Je lançais une paire de chaussette contre un mur et, de manière non étonnante, la paire rebondissait mais n’allait pas toujours dans la même direction d’"incidence". Ce qui m’a amené à la question : est-ce que l’on pourrait étudier/caractériser la forme/la géométrie de la paire de chaussette (ou d’un autre objet) et donner une sorte de "probabilité"4 de la géométrie du dit objet par un processus analogue et formalisé au "lancé de chaussette" ?

Tu veux dire balancer un objet quelconque plein de fois contre un mur et en déduire sa forme d’après ses rebonds ? Mouais, si la chaussette rebondi un peu n’importe comment, c’est pour plusieurs raisons (et là j’ignore soigneusement la forme du mur) :

• la rugosité de surface, ce que tu appelles la forme, fait que l’angle d’incidence n’est pas le même que celui apparent ;
• mais surtout, la chaussette s’écrase pas mal sur le mur quand elle l’atteint ce qui modifie la géométrie de l’impact ;
• une partie de cet écrasement génère une déformation non élastique de la chaussette qui d’une part entraîne une perte d’énergie cinétique et donc potentiellement déforme le rebond ; et d’autre part modifie son comportement futur.

Du coup je suis pas sûr de voir ce que tu avais en tête, mais ça me parait être un problème effroyablement complexe. Sur la chaussette en tant que telle, et encore plus à généraliser.

Hmm à partir de là c’est plus très clair par contre, ça veut dire quoi $p$ quelconque ? Si j’interprète la première partie de ton message, tu regardes les polynômes réels scindés dont les racines forment une suite arithmétique de raison 1 (mais du coup là c’est pas très clair ce que tu voudrais étudier sur $P$ ? Une fois que t’as scindé ton polynôme, t’as tout, non ?). Et à partir du « Par exemple », ça veut dire quoi ? $P$ est un truc de degré 2 et à droite t’as un truc de degré 5, non ?

ÉDIT : Ok en regardant l’article que tu cites, je suis un peu plus perdu. La question à laquelle répond le théorème 2, c’est quels sont les $x,y$ entiers tels que $x(x-1)/2=y(y-1)(y-2)(y-3)(y-4)/5!$, donc je vois pas trop le rapport avec ce que tu étudies là — une généralisation ça serait "étant donnés $P,Q$ (éventuellement qui vérifient l’équation que t’as écrite au début), trouver l’ensemble des $x,y$ entiers tels que $P(x)=Q(y)$".

En tout cas ta démarche pour développer une intuition est bonne (à mon avis ta "redémonstration du théorème fondamental de l’analyse" à partir de ton espèce d’identité algébrique est un peu suspecte, mais ça t’amuse de jouer avec les différents concepts, c’est cool de voir ça).

Merci beaucoup, pour le concours général je vais lire cela, il y a vraiment beaucoup d’exercices et moi qui suis vraiment mauvais en géométrie euclidienne, je vais pouvoir me mettre à jour.

C’est marrant parce que pour le coup je crois que y avait pas de géométrie au CG de mon année.

Dans celui de 2019, il n’y en avait pas; dans celui de 2018 on peut en trouver. D’une manière plus générale, on pourrait regarder cela par exemple : https://gjmaths.pagesperso-orange.fr/cgen.html . Comparé aux sujets du dernier millénaire, il y a l’air d’y avoir incontestablement moins de géométrie qu’avant. Mine de rien, j’ai l’impression que tout ce qui touche à l’intégration est encore moins représenté. Les probabilités semblent vraiment à la mode.

Quant à la première partie de ton message, pour répondre plus précisément, il y a eu quelque chose de fait et je n’en ai pas parlé mais on peut le voir dans l’équation que tu as donné : $\displaystyle x(x-1) = y(y-1)(y-2)(y-3)(y-4)/5!$. Je vais donc expliquer comment on y arrive.

On part donc de $\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ 5 \end{pmatrix}$, ce que l’on ré-écrit (par définition) comme : $\displaystyle \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{y!}{5!(y-5)!}$. Désormais, posons $\displaystyle x+p= y$. On obtient $\displaystyle \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{(x+p)!}{60(x+p-5)!}$. Désormais, simplifions le terme de gauche, il en résulte qu’il vaut $\displaystyle x(x-1)$; quant au terme de droite, on trouve : $\displaystyle \frac{1}{60}(x+p)(x+p-1)(x+p-2)(x+p-3)(x+p-4)$. On regroupe tout : $\displaystyle x(x-1) = \frac{1}{60}(x+p)(x+p-1)(x+p-2)(x+p-3)(x+p-4)$ (on remarque que l’on retrouve bien la formule que tu avais donné, donc en suivant tes notations on obtiendrait : $P(x) = Q(x+p) = Q(y)$).

Si on essaie une première généralisation (ce qui semble déjà bien compliqué), on pourrait obtenir :

Soit un polynôme $P$ en une variable, $k$ et $p$ deux réels et $n$ un entier positif, étudier en quel(s) valeur(s) de $x$ et de $p$ s’annule cette expression : $\displaystyle P(x) - k \prod_{i=0}^{n} (x + p - i)$

Prenons un exemple ($P(x) = x(x-1)$, $k = \frac{1}{60}$, $n = 5$ et $p$ quelconque). Je vais cette fois ci tout présenter en détail tout en répondant à tes questions. Et je comprends mieux ce qui gêne (et je me suis posé la question en écrivant, lors du message du six janvier (il va vraiment falloir que je gagne en lisibilité, propreté, rigueur […])). Donc, non, je ne scindais pas mon polynôme, c’est plutôt une équation où (dans la plus grande généralité (mais cette généralité semble même trop grande)) on aurait en inconnues : le polynôme $P$ et les nombres $n$, $p$ et $k$.

Avec cet exemple, on a (une fois tout de développé): $\displaystyle 60x^2 - 60x = p^5 + 5 p^4 x - 10 p^4 + 10 p^3 x^2 - 40 p^3 x + 35 p^3 + 10 p^2 x^3 - 60 p^2 x^2 + 105 p^2 x - 50 p^2 + 5 p x^4 \\ -40 p x^3 + 105 p x^2 - 100 p x + 24 p + x^5 - 10 x^4 + 35 x^3 - 50 x^2 + 24 x$ On fait tout passer du même côté et on arrange un peu : $\displaystyle x^5(1) + x^4(5 p -10) + x^3(10 p^2 - 40 p + 35) + x^2(10 p^3 -60 p^2 + 105 p -110) \\ + x^1(5 p^4 - 40 p^3 + 105 p^2 - 100 p + 84) + x^0(p^5 - 10 p^4 + 35 p^3 - 50 p^2 + 24 p + 0) = 0$

Et désormais, on voit mieux ce que j’entendais tout à l’heure par trouver les valeurs de $x$ et $p$ telle que l’expression s’annule.

Après j’introduis une matrice : $\displaystyle \begin{pmatrix} a_{1,1}&0&0&0&0&0 \\ a_{2,1}&a_{2,2}&0&0&0&0 \\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&0&0&0 \\ a_{4,1}&a_{4,2}&a_{4,3}&a_{4,4}&0&0 \\ a_{5,1}&a_{5,2}&a_{5,3}&a_{5,4}&a_{5,5}&0 \\ a_{6,1}&a_{6,2}&a_{6,3}&a_{6,4}&a_{6,5}&a_{6,6}\end{pmatrix}$ construite telle que : $\displaystyle x^5(a_{1,1}) + x^4(a_{2,2}p + a_{2,1}) + x^3(a_{3,3} p^2 + a_{3,2} p + a_{3,1}) + x^2(a_{4,4} p^3 +a_{4,3} p^2 + a_{4,2}p + a_{4,1}) \\ + x^1(a_{5,5} p^4 + a_{5,4} p^3 + a_{5,3} p^2 + a_{5,2} p + a_{5,1}) + x^0(a_{6,6}p^5 + a_{6,5} p^4 + a_{6,4} p^3 + a_{6,3} p^2 + a_{6,2} p + a_{6,1}) = 0$ (on peut généraliser cette construction assez aisément).

Et je me suis rendu compte que cette matrice avait l’air d’avoir des propriétés super cool. Donc, pourquoi pas étudier cette première généralisation ? (À moins que j’eus fait une erreur (?))

Concernant la re-démonstration du théorème fondamental de l’analyse alors déjà, tout d’abord, je ne sais pas si cela s’appelle vraiment comme ça (un coup dans une langue il y a quelque chose en corollaire qui ne l’est pas dans une autre langue, un coup un nouveau truc apparaît, un coup dans un manuel ça ne s’appelle pas de la même manière que dans un autre, bref, tout ce que je sais c’est que c’est lié de manière fondamental à l’analyse). Ensuite, moi aussi ma démonstration me semble suspecte, mais peut être pas tant que ça. Mais en fait, je me suis totalement trompé, j’ai confondu avec une autre démonstration que j’avais faite, je me suis emmêlé les pinceaux; là, en somme, je n’ai fait qu’appliquer ce théorème. Mais il y a tout de même une question qui m’intéresse.

Je m’explique. Je me suis posé une question : peut-on "intégrer une matrice" ? (Juste à côté, dans la marge, j’ai mis une note : "sale", car cette idée m’étonnait beaucoup.) Partant du concept que l’intégration d’une fonction c’est l’intégration d’une matrice $(1,1)$, je me suis demandé si cela pouvait se généraliser. Ni une ni deux, j’écris : $\displaystyle \int_a^b A_{f(x), f'(x)} \mathrm{d}x = \int_a^b \begin{pmatrix} f(x)&f'(x) \\ 0&f(x) \end{pmatrix} \mathrm{d}x$ sans me soucier de si cela voulait vraiment dire quelque chose. De là, je fais le même chemin que celui pour construire l’intégrale de Riemann pour une fonction $f$ mais cette fois ci pour ma matrice $(2,2)$ $A_{f(x), f'(x)}$. Et finalement, j’obtiens que l’intégrateur "se distribue" sur tous les coefficients, de ce fait : $\displaystyle A_{\int_a^b f(x) \mathrm{d}x, f(x)}$

En écrivant ce message, suite à quelques petites recherches, je suis tombé sur ce topic, pour les intéressé(e)s.

En première idée, j’avais quelque chose de beaucoup plus simple en tête, grossièrement, j’oubliais la nature physique de l’objet : je le considérais comme indéformable (ce que n’est pas la chaussette) lorsqu’il heurte un autre objet. Ce dont tu parles paraît en effet effroyablement plus complexe, mais semble fournir une mesure bien plus fine (pour la comparaison : c’est comme si moi je ne considérais que l’extérieur de l’objet, son bord; et toi tu l’étudiais non seulement par son bord, mais également en prenant en considération sa structure interne). Même si je n’ai pas le niveau, j’aimerais bien me faire les dents (ou plutôt me les casser, au moins essayer) et tenter de formaliser tout cela. Autant créer une nouvelle discussion, non ?

En tout cas il y a 10 ans c’était beaucoup de géométrie.

En première idée, j’avais quelque chose de beaucoup plus simple en tête, grossièrement, j’oubliais la nature physique de l’objet : je le considérais comme indéformable (ce que n’est pas la chaussette) lorsqu’il heurte un autre objet.

Si tu pars sur cette piste, c’est déjà un beau morceau à formaliser correctement. Les problèmes surviennent même avec des formes simples comme un cube. Si l’impact se fait au niveau d’une arête, ou pire d’un coin (ce qui est le plus probable), tu as en plus une rotation de l’objet qui va affecter son rebond. Une partie de l’énergie cinétique est en effet convertie en moment cinétique. Bon en plus dans la vraie vie, ce qui permet aux objets de rebondir sont les forces élastiques, difficile à réconcilier avec un solide indéformable…

On doit pouvoir arriver à regarder les distributions des directions de rebond pour des objets simples, mais je doute qu’on puisse aller plus loin. Ou alors on se retrouve avec des modèles tellement compliqués (prenant en compte ce dont je parlais dans mon précédent message) que de toute façon ils n’aident pas franchement à comprendre la réalité.

Même si je n’ai pas le niveau, j’aimerais bien me faire les dents (ou plutôt me les casser, au moins essayer) et tenter de formaliser tout cela.

Je pense vraiment que ce serait une pure perte de temps. C’est très bien d’être curieux et ambitieux sur les problèmes à aborder, mais ce qui est aussi essentiel est d’acquérir une bonne culture et maîtrise de plein de concepts et outils de base. Regarde déjà des bouquins de mécanique du point et de mécanique du solide. Puis mécanique des milieux continus (et là faut accompagner ça en maths avec tenseurs et opérateurs différentiels). Sans ces outils, tu vas bidouiller des trucs sans énorme intérêt dans ton coin.

Dans celui de 2019, il n’y en avait pas; dans celui de 2018 on peut en trouver. D’une manière plus générale, on pourrait regarder cela par exemple : https://gjmaths.pagesperso-orange.fr/cgen.html . Comparé aux sujets du dernier millénaire, il y a l’air d’y avoir incontestablement moins de géométrie qu’avant. Mine de rien, j’ai l’impression que tout ce qui touche à l’intégration est encore moins représenté. Les probabilités semblent vraiment à la mode.

Moi c’était en 2014, mais effectivement vu les annales c’était un peu une exception. Oui, les probas sont à la mode (et pas qu’au concours général) — et je vois pas trop ce qu’on pourrait faire comme exo en "intégration" (en particulier avec le programme du lycée ?).

Prenons un exemple ($P(x) = x(x-1)$, $k = \frac{1}{60}$, $n = 5$ et $p$ quelconque). Je vais cette fois ci tout présenter en détail tout en répondant à tes questions. Et je comprends mieux ce qui gêne (et je me suis posé la question en écrivant, lors du message du six janvier (il va vraiment falloir que je gagne en lisibilité, propreté, rigueur […])). Donc, non, je ne scindais pas mon polynôme, c’est plutôt une équation où (dans la plus grande généralité (mais cette généralité semble même trop grande)) on aurait en inconnues : le polynôme $P$ et les nombres $n$, $p$ et $k$.

Ok, je comprends maintenant, tu te places en quelque sorte dans $\mathbf{R}[x,p]$ (vu que tu fixes $k$ après, de toute manière), mais honnêtement ça ressemble plus à un jeu d’écriture qu’autre chose. J’ai l’impression que t’es plus dans l’optique "je vais compliquer le problème en rajoutant des variables/obfusquant un peu tout ça pour retrouver d’une autre manière des choses que je connais déjà". Pourquoi pas, mais faut pas s’attendre à généraliser un problème déjà difficile au départ de cette manière-là. Pour résoudre un problème, on fait en général l’inverse : tant que j’arrive pas à résoudre le problème général, je simplifie jusqu’à tomber sur un truc minimal. Typiquement, ici je vois pas trop ce que ferait apparaître ton changement de variable $y-x=p$. Ton expression se réécrit aussi :

$P(x)-k \prod_{i=0}^n (y-i)$

c’est quand même fondamentalement plus simple d’étudier ce truc-là que de rajouter un $x$ à droite. Y a des cas historiques où ça devient miraculeusement vachement éclairant d’essayer de résoudre un problème plus compliqué, mais ça y ressemble pas vraiment ici (surtout que la littérature polynomiale c’est historiquement exponentiellement plus compliqué dès que tu rajoutes une variable de plus).

Par exemple, c’est pas très compliqué de prouver ta conjecture sur la trace de la matrice que tu construis. Si tu regardes bien, les $1,5,10,5,1$ ça ressemble franchement à des coefficients binomiaux, et pour cause, la trace correspond à la somme des coefficients de degré $n+1$ dans ton polynôme à deux inconnues $x$ et $p$ : $(x+p)(x+p-1)(x+p-2)\ldots (x+p-n)$. Le coefficient en $x^k p^{n+1-k}$ c’est $\binom{n+1}{k}$ (quand tu développes le produit tu dois prendre que des $x$ et des $p$, donc on se ramène au nombre de manières de choisir des $x$ dans le produit). Bon et évidemment la somme des coefficients binomiaux fait $2^{n+1}$, d’où ta remarque sur la trace de la matrice (note que ça marcherait plus si ton $P$ "interférait" en étant de degré $\ge n+1$). Mais là on a rien fait d’autre que des manipulations algébriques, c’est très tautologique comme truc. Si on veut trouver des informations non triviales par exemple sur les racines entières des polynômes, il faut faire apparaître des gros théorèmes d’algèbre qui nous feraient sortir de nos petites remarques intuitives (sinon la littérature sur les courbes elliptiques serait pas très dense).

Bon après je veux pas gâcher ton plaisir de manipuler toutes ces idées, j’imagine que c’est assez sain de commencer par ça.

Je m’explique. Je me suis posé une question : peut-on "intégrer une matrice" ?

Si tu remplaces « intégrer une matrice » par « intégrer une fonction à valeurs matricielles » (par exemple une fonction $f:[a,b]\to \mathbf{R}^{n\times n}$), ça a tout de suite un peu plus de sens — tu intègres "par rapport à $x$", après tout. Pour faire le chemin inverse, une fonction à valeurs matricielles c’est essentiellement la même chose qu’une matrice de fonctions à valeurs réelles (si t’es un algébriste fou, ça s’écrirait $\mathcal{M}_n(\mathcal{F}([a,b],\mathbf{R}))\cong \mathcal{F}([a,b],\mathcal{M}_n(\mathbf{R}))$).

Une question peut-être plus simple, c’est est-ce qu’on peut intégrer des fonctions à valeurs vectorielles ? Par exemple :

$f:x\in\mathbf{R}\mapsto (x,2x,\ldots,nx)\in \mathbf{R}^n$

La réponse est "oui", et le sens naturel qu’on peut donner à ça c’est d’écrire $f=(f_1,\ldots,f_n)$ et de décider que $\int f=(\int f_1,\ldots,\int f_n)$. Mais ça c’est par définition, habituellement juste après avoir défini une intégrale sur les fonctions à valeurs réelles (je sais pas trop ce que tu entends par « refaire toute la construction de l’intégrale de Riemann » dans ce cas-là — tu dis que as « retrouvé qu’il suffisait d’intégrer composante par composante », mais j’ai plutôt tendance à penser que c’est parce que tu l’as construit comme ça, non ?). Pour les fonctions à valeurs matricielles, on peut faire pareil en oubliant le côté algèbre linéaire des matrices et en les voyant simplement comme un espace vectoriel de dimension $n^2$.

Le message c’est que changer l’espace d’arrivée des fonctions à intégrer c’est facile (en dimension finie) ; par contre, si on change l’espace de départ, il se passe des trucs autrement plus complexes (l’intégrale de Riemann ne suffit plus, y a qu’à voir tout ce qui se passe quand on fait de l’analyse complexe).