Thermodynamique/Maths: modélisation comportement intérieur-extérieur

J’ai refais l’expérience en mélangeant mais très peu de changement. Pierre_24, tu vois une erreur ? Il me semblait que c’était bien $T_{ext} - T_c$ d’après ce que Vael m’a dis.

Up.

Non mais y a certainement un problème quelque part avec ce modèle. Après 10 mins, je serais à 20°C ? Ca paraît étrange !

Non mais y a certainement un problème quelque part avec ce modèle.

Pas avec le modèle (enfin, oui, il repose sur plusieurs hypothèses simplistes voire fausses, mais tu ne pourras pas échapper à la décroissance exponentielle de la température moyenne), mais avec ce que tu mets dedans et ce que tu mesures. Tu ne mesures pas la température moyenne, donc le $h$ que tu déduis est forcément foireux.

Je remonte le sujet…

Beuh non, ils montrent que les phénomènes sont du même ordre de grandeur, c’est donc dur d’en négliger un.

Oui le problème c’est que tu ne fais pas le bon calcul pour obtenir $\tau$ . T’as formule est fausse. Et fait gaffe $T_0$ je sais pas ce que c’est mais ça peut être ambigüe ici.

Et voila un plot de tes données et d’une expo avec le $\tau$ que tu donne, a savoir 0.0077s-1 (en bleu) et en rouge le $\tau$ que moi je trouve (temps en minutes et température en °C) :

Donc tu fais deux erreurs quelques part :

1. Tu ne détermines pas le bon $\tau$ a partir de tes données
2. Une fois le $\tau$ détermine tu ne traces pas l’exponentielle qui lui correspond !

Ensuite le temps caractéristique que je trouve moi est de $0.04^{s-1}$ ce qui veut dire que grossièrement ton café aura refroidis de moitié au bout de 17 minutes (il sera a 50°C). On utilise plus souvent directement le temps caractéristique de $1/ \tau$ qui ici vaut 25 minutes et qui correspond à une diminution de 63% de la température. Il faudrait que tu recommences l’expérience en mesurant sur un cet ordre de grandeur, l’idéal étant bien sur un temps plus long (part exemple 50 minutes) par contre tu n’es pas obligé de faire une mesure toute les minutes. Tu peux faire prendre la température à t=0, 2, 4 ,6, 10 ,20 ,30, 40 minutes par exemple, l’idée étant de voire si la tendance est réellement exponentielle et d’obtenir le temps caractéristique global du problème.

Et je l’avais promis (heu non en faite… mais je l’avais quand même dit), le voila… le résultat pour les différents modèle (pour une tasse de 10cm) :

En bleu condition au limite : "température limite = température extérieur" (c’est la solution analytique du coup au début ça galère un peu pour reproduire le step…)

En jaune condition Neumann avec $h = h_{conv} = 5 / W.m^{-2}.K^{-1}$ (soluce analytique aussi, c’est un peu plus chiant à calculer, les solutions naturel ne sont pas une base de fourrier, faut résoudre un système linéaire…)

En vert condition Neumann avec $h = hconv + h_{conv}$ et $h_{ray}= 6.9 W.m^{-2}.K^{-1}$ , c’est globalement vrai pour des "petites" différences de température, ici la perte est sous estimé de -10% au début (différence de température de 60°C) et sur estimé de +10% quand la différence de température est de 20°C. Bien sur avec ce type de condition aux limites (définition de la dérivée à la limite comme proportionnelle à la dif de température) ce n’est pas possible d’obtenir une solution qui décroit plus vite qu’avec la condition "température limite = température extérieur".

Et maintenant le coté cool : c’est l’évolution de la température sur 10h… donc voila, si vous aviez un doute sur le fait que modéliser un problème 3D liquide par des équations de conduction 1D c’est inutile, vous avez un argument… La convection doit jouer un rôle dans l’histoire. Et c’est pour ça que mélanger ou non, ça ne change pas beaucoup l’expérience. Je me pause aussi la question de la conduction par rayonnement au sein du café, les IRs on une distance d’absorption de l’ordre du $\mu m$ du coup il doit y avoir de la conduction par infrarouge, je sais pas si c’est prit en compte dans le $\lambda$ du café ou non.