Produit scalaire

Salut,

Pouvez m’expliquer ce que cela veut dire, et en quoi ça le prouve ?

Un vecteur peut être vu comme étant un objet représentant un déplacement dans un espace quelconque. Ce vecteur dispose de propriétés intrinsèques comme sa norme (sa longueur si tu préfères), mais pour manipuler ce vecteur, on a souvent besoin d’utiliser une représentation de ce vecteur à l’aide d’une collection de nombres réels.

Par exemple, un déplacement dans un plan spatial à deux dimensions peut être représenté par un vecteur (appelons le $u$) de $\mathbb R^2$ avec une norme correspondant à la longueur du déplacement. Ce vecteur lui même peut être représenté par ses deux composantes dans une base de $\mathbb R^2$. Si la base choisie est notée $(i,j)$, alors on peut écrire $u$ comme étant $u=ai+bj$ avec $a$ et $b$ deux réels qui seront les deux composantes de $u$. Ces composantes permettent de manipuler $u$, par exemple, lui ajouter un second vecteur $v=ci+dj$ en ajoutant les composantes pour obtenir $w=(a+c)i+(b+d)j$.

Les composantes sont donc bien pratiques, mais elles ont un gros défaut : leurs valeurs dépendent de la base $(i,j)$ choisie (alors que le vecteur $w=u+v$ lui, n’en dépend pas !). C’est embêtant dans les cas où l’on a envie d’avoir des relations qui ne dépendent pas de la base que l’on choisie (comme par exemple en physique, ce serait pas super si les lois physique n’était valides que dans certaines bases et pas dans d’autres). C’est pour cela qu’il est important de savoir si le résultat d’une opération effectuée entre des vecteurs dépend de la base prise ou non. L’addition de vecteur ou le produit scalaire n’en dépendent pas (seule la représentation des objets manipulés va changer).

Dans ton exemple, le fait d’écrire le produit scalaire sous cette forme montre que le résultat ne dépend pas de la base choisie de façon triviale : le vecteur $u+v$ n’en dépend pas, ni les normes des différents vecteurs.

Pour ta dernière question, on prend souvent des vecteurs de base qui sont unitaires et orthogonaux parce qu’ils vérifient des propriétés intéressantes. Si on note $(i,j)$ une base orthonormée de $\mathbb R^2$, alors on a $i\cdot i=1$, $i\cdot j=0$ et $j\cdot j=1$. Cela conduit à ce que si un vecteur se décompose comme ceci : $u=ai+bj$, alors on a $u\cdot i=a$ et $u\cdot j=b$.

P.S : Quand on parle de base orthonormée on a nécessairement une base dont les deux vecteurs $\vec{i}, \vec{j}$ ont une norme de $1$ ?

Oui. Une base orthornormée signifie que tous les vecteurs de base sont de norme $1$ et orthogonaux entre eux.

Car si on a deux vecteurs orthogonaux comme base, tel que chacun de ces vecteurs est une norme de $3$ et $4$ alors y a t-il un nom pour ce genre de bases ?

Une base orthogonale.

Cela veut-dire que les propriétés du produit scalaire découlent directement de la base choisit ?

Au contraire ! Comme tu le disais dans ton premier post, ce qu’il y a de super avec le produit scalaire, c’est que ses propriétés ne dépendent pas de la base choisie.

(par exemple le fait que le produit scalaire de vecteurs orthogonaux soit égal à 0)

Ça, c’est toujours vrai quelque soit la base, c’est la définition de vecteurs orthogonaux.

Donc si j’avais choisit une base non orthonormé, avec des propriétés farfelus comme : $\vec{i} \cdot \vec{j} = 3.89$ alors dans ce repère on peut dire que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut $3.89$ ? (peut-être faut-il quand même préciser que $\vec{i}$ et $\vec{j} $ sont orthogonaux pour que ça marche ?)

Si $i\cdot j\neq 0$, alors les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux (par définition, et réciproquement). Tu prends le truc dans le mauvais sens, si le produit scalaire de deux vecteurs de base n’est pas nulle, ces vecteurs ne sont pas orthogonaux et ta base n’est pas orthogonale. Pour que ta base soit orthogonale, il faut que les produits scalaires des vecteurs de base soient nuls.

Finalement, (je m’excuse de poser autant de questions) auriez-vous un exemple d’opération que l’on peut faire sur/entre un/des vecteur(s) qui dépendent de la base orthonormé choisit ?

Si on note $e_1$ le premier vecteur de base, le résultat de l’opération $u\cdot e_1$ dépend évidemment de la base choisie.

Non. Prends une base orthonormée, tourne les deux vecteurs de quelques degrés. Ils sont toujours de norme 1, et leur produit scalaire est nul, pourtant ce ne sont plus les mêmes. Ils définissent une nouvelle base orthonormée.

Par exemple, $K(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}),L(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$ est une autre base orthonormée.