Prouver qu'une suite est monotone et borné

Bon après il avait :

Est-il vrai qu’une suite croissante est majorée ? Minorée ?

Soit $(u_n)_{n\ge0}$ une suite croissante, par définition $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \le u_{n+1}$ donc forcément $\forall n \in \mathbb{N}, u_0 \le u_n$ la suite est donc minorée.

Pour la majoration, il suffit de trouver un contre exemple, donc par exemple la suite $(n^2)_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante mais pas majorée.

Et enfin la dernière question était :

Soit $x>0$ un réel. Montrez que la suite $\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.

Soit $N$ ce rang et $(u_n)$ cette suite. Si $n \ge N$ alors $u_{n+1} - u_n \le 0$, or :

Pour alléger considérons $a = \frac{x^n(n+1)}{(n+1)!}$, nous avons donc $\frac{x}{n+1}a - a$ or si $\frac{x}{n+1} \le 1$, $\frac{x}{n+1}a - a \le 0$ et donc $(u_n)$ est décroissante pour $n \ge N = x - 1$. CQFD !?

Edit: Désolé, Holosmos, pour les picotements aux yeux. Ré-Edit: Erreur dans l’énoncé, merci Gabro

Pour ta deuxieme partie, il y a deux principaux problèmes (en plus de tous tes calculs lourds dans le style pourquoi faire simple ; remarquer que $(n+1)! = n! . (n+1) $ et $x^{n+1}= x . x^n$ t’aurais évité bien des tracas)

Effectivement,c’est que sur mon brouillons j’ai trouvé ça comme ça mais j’aurais dû me relire pour le simplifier.

Pour le premier point, je vais caricaturer ton raisonnement. Supposons que N existe. Alors N vérifie ces propriétés. Donc N existe.

Ah oui, il faudrait directement partir pour trouver $\frac{x}{n+1}a - a$, $a$ qui vaut donc plus simplement $\frac{x^n}{n!}$, et conclure en conséquence.

Du coup $n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{x^n}{n!} \ge 0$.

Je vais réécrire la preuve avec vos critiques.

On cherche si $\left ( u_n = \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang. Nous pouvons remarquer que :

Posons $a = \frac{x^n}{n!}$, nous avons donc $\frac{x}{n+1}a - a$, en sachant que $n \in \mathbb{N} \text{et} x > 0$ nous pouvons remarquer que $a \ge 0$ ce qui nous permet d’affirmer que si $\frac{x}{n+1} \le 1$ alors $\frac{x}{n+1}a - a \le 0$ et donc, par définition de la décroissance, $u_n$ est décroissante pour tous $n \ge x - 1$.

Y a plus rapide encore.

Je te fais un début :

Soit $k$ entier de sorte que $k> |x|$. Comme $(k+n)!> k! k^n$ on en déduit que $|x|^{k+n}/(k+n)!$ …

Pour démontrer u’une suite est (dé)croissante, on peut calculer la différence entre 2 termes consécutifs et vérifier si ce nombre est toujours de même signe.

On peut aussi calculer le rapport entre 2 termes consécutifs, et comparer ce nombre avec 1.

Soit $x<0$ un réel. Montrez que la suite $\left ( \frac{x^n}{n!} \right )_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante à partir d’un certain rang.

Tu es sûr de ton énoncé ? Car là, si $u_n = \frac{x^n}{n!}$, alors $u_{n+1} = \frac{x}{n+1}u_n$. Comme $x < 0$, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont de signes opposés, donc la suite $(u_n)_n$ ne peut pas être décroissante. Sa valeur absolue (ou bien encore le cas $x>0$), si.

Je vois un peu près où tu veux que j’aille mais je vois pas d’où vient et à quoi sert $(k+n)!> k! k^n$.

Ce serait effectivement plus élégant

Mea culpa, c’est $x>0$.

Ok merci pour votre aide, je crois que le sujet est clos