Contre-exemple lors d'un raisonnement par l'absurde : mauvaise idée

Bonjour, j'ai un exercice dans lequel il faut que je montre que pour n un entier naturel non-nul, $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier.

Par l'absurde, je suppose que $\sqrt{n^2+1}$ soit un entier et donc je pose $k \in \mathbb N$ tel que $k^2 = n^2+1 \iff n^2 = k^2 - 1 = (k-1)(k+1)$.

Là, j'ai l'impression d'être bloqué. Pourtant, je dirais que si je prend k = 4, alors $n = \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} \notin \mathbb N$ et on aboutit à une contradiction. Le problème c'est qu'il faudrait montrer que $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier pour tout naturel non-nul $n$…

Pouvez-vous m'aider à sortir de ce terrain boueux?

EDIT : Problème avec une identité remarquable, désolé.

Concrètement j'aurai plutot étudié la difference entre deux entiers consécutifs pour montrer que l'écart est toujours supérieur à 1.

Deux entiers consécutifs.

Sinon, on peut aussi partir avec des factorisations comme veut faire Ozmox, même si je trouve ça moins direct (j'allais dire moins généralisable mais en fait un peu quand même).

Là, j'ai l'impression d'être bloqué. Pourtant, je dirais que si je prend $k = 4$, alors $n = \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{15} \notin \mathbb N$ et on aboutit à une contradiction.

Je ne comprends pas.

C'est pas parce que tous les entiers ne peuvent pas s'écrire ainsi qu'aucun ne peut. Ton contre-exemple n'en n'est pas un puisque tu te poses une autre question

En me relisant je remarque que j'ai du mal à comprendre ce que j'ai écrit en fait, je pense que j'ai pris le mauvais chemin. Je doit montrer que : $\forall n \in \mathbb N^*, \sqrt{n^2+1} \notin \mathbb N$. Donc par l'absurde, je suppose : $\exists n \in \mathbb N^*, \sqrt{n^2+1} \in \mathbb N$

blo yhg, pourquoi parles-tu de carré, on parle d'entier dans l'énoncé. Je pense que c'est une erreur dans mon raisonnement qui te fais penser ça, pourtant, je suis simplement partit de $k^2 = n^2 + 1$ comme dit gabbro, pour montrer qu'il n'y a pas de n et de k naturel non nul qui respecte cette équation.

blo yhg, pourquoi parles-tu de carré, on parle d'entier dans l'énoncé.

Un carré (parfait) est le carré d'un entier naturel.

Je pense avoir trouvé quelque chose, en partant de k² = n² + 1, on a k² - n² = 1 d'où k - n = 1/(k+n). Donc 0 < k - n < 1. Je pense qu'il est possible de conclure ou alors je ne vois pas trop quoi faire à cette étape… Ne s'agit-il pas de la méthode de regz?

J'ai édité pour l'inégalité en revanche le rapport ne peut être égal à zéro.

Je vois où tu veux en venir avec l'étude de la fonction mais j'ai oublié de préciser que l'énoncé demandait un raisonnement pas l'absurde.

@blo yhg : Ok pour le carré d'un entier, j'ai compris. Je trouve la méthode de regz pratique mais en factorisant, il faudrait que j'essaye. Je peux te mp si tu veux.

Tu peux tourner la méthode de regz comme un raisonnement par l'absurde. Essaie de l'appliquer pour montrer qu'il n'y a pas de solution non triviale à k²-n²=1. Notes qu'avec fx=x² ça s'écrit fk - fn = 1.

La méthode par factorisation est celle que regz a donnée dans la première partie.

Je pense avoir besoin de voir déjà comment faire en étudiant simplement f(x) = 2x + 3 sur R+. Tu peux me donner une version de ta réponse s'il-te-plaît regz?

@regz : Au passage, "D'ailleurs ton inégalité stricte n'est pas très justifiée", dans l'énoncé il est dit que n est un entier naturel non-nul…

Nan nan ton inégalité est peu justifiée. Il faut écrire plus que ça (à ton niveau du moins).

Eh bien, $n \in \mathbb N^*$ donc $n \geq 1$ et comme $k^2 = n^2 + 1$, on peut écrire $k^2 > k > 1$ d'où $k + n > 1$. Donc $\dfrac{1}{k+n}$ se trouve bien dans $]0, 1[$.