Structure isostatique ?

Salut,

J'ai une petite question sur cette structure: http://hpics.li/4690fcf

Est-elle isostatique ?

Si je l'observe, il y a 2 réactions d'appuis à gauche, 1 réaction d'appui à droite donc 3 inconnues. Mais il y a une rotule en B. Donc selon moi, cette structure est un mécanisme de degré 1.

On m'a néanmoins dis que cette structure était isostatique et que pour la résoudre, il fallait la considérer isostatique.

Par ailleurs, comment aurait été cette structure si j'avais enlevé la poutre horizontale entre A et C ?

Je pense qu'elle est isostatique puisqu'il y a cette poutre entre A et C qui la maintient mais je ne sais pas comment le prouver..

Merci.

Salut,

Tu pourrais nous lister les types des liaisons, j'avoue que je ne comprends pas vraiment tes symboles.

Si le matériau n'est pas déformable, alors que AC soit là ou non, ça ne change strictement rien.

Il y a un appui articulé à gauche (donc 2 réactions d'appuis) et un appui simple à droite (donc 1 réaction d'appui).

AB et BC sont en bois. AC est en acier. Pourquoi tu dis que ça ne change rien ?

La réaction horizontale sur l’appui de gauche est nulle puisque l’appui de droite ne reprend pas les efforts horizontaux.

Les trois barres sont reliées sous forme de triangle par trois rotules. Ce genre de montage est toujours isostatique. Si on remplace une des rotules par une soudure, alors la structure devient hyperstatique. Si on retire une barre, la structure devient un mécanisme.

La preuve doit venir d’une formule quelconque donnant le degré d’hyperstatisme de la structure. Il y a plusieurs choix dans la formulation.

À ce stade, le matériau n’a aucune importance tant que sa rigidité est non nulle et finie. Heureusement, le bois et l’acier valident ces deux critères.

Et tu saurai comment le prouver avec une formule ?

C’est un exercice pour un cours ? On a dû te fournir une formule. Essaie-la d’abord et on verra ensuite.

Je n'ai aucune formule pour ça C'est pour ça que je demande ici

Tu peux m’en dire plus sur le contexte de ta question ?

Comment calculer qu'elle est isostatique en gros. C'est la rotule en haut qui me met le doute.

Non, je veux dire : c’est pour un cours ? ou autre chose ?

Non, c'est pour moi

Sinon, une réponse ?

D’après l’aide mémoire de mécanique des structures 2^e éd. de A. Delaplace, F. Gatuingt et F. Ragueneau :

Un système comprenant $k$ solides possède dans l’espace $6k$ degrés de liberté (dans le plan, $3k$). Ces solides sont cependant liés entre eux à différents points de jonction et fixés en un certain nombre de points d’appui.

Soit $r$ le nombre de réactions d’appuis, c’est-à-dire de composantes de réactions inconnues aux différents points d’appui. Soit $p$ le nombre de liaisons internes indépendantes entre solides. On appelle degré d’hyperstatisme la quantité [dans l’espace d’abord, dans le plan ensuite]

$$H=p+r-6k$$

$$H=p+r-3k$$

Pour déterminer le nombre de liaisons internes ($p$), on peut utiliser les formules suivantes :

• articulations ou rotule : si $s$ solides concourent en une articulation $p=3(s-1)$ dans l’espace et $p=2(s-1)$ dans le plan.
• encastrements : si $s$ solides concourent en un encastrement $p=6(s - 1)$ dans l’espace et $p=3(s-1)$ dans le plan.
• liaisons mixtes : dénombrement à la main du nombre de conditions de liaisons.

Dans la dernière partie, il faut dénombrer les degrés de liberté bloqués.

Du coups $ H = p + r - 3k $ avec k = 3 (car problème plan), r = 3 (car 3 réactions d'appuis). Pour $p$, je fais comment ? Car j'ai une rotule et 1 appuis simple et 1 appuis glissant.

$s$ est le nombre de degrés de liberté bloqués dans tout le système. Ici, $s=5$ puisque les déplacements en $x$ sont bloqués aux trois liaisons, que les déplacement selon $y$ sont bloqués en $A$ et $B$, et que les rotations ne sont bloquées nulle part.

Aussi, la réaction horizontale en $A$ n’existe pas, donc $r=2$.

Merci ! Par contre, que se passe t-il si j'enlève la barre horizontale entre A et C ? On considère alors qu'il peut y avoir des déplacements en $x$ au niveau des appuis et donc $s = 7$, c'est ça ?

J’ai une meilleure expression, qui vient d’un de mes cours de structure :

avec $h_{\text{ext}}=r-3$ le degré d’hyperstaticité extérieur et $h_{\text{int}}=\ell-3(b-1)$ le degré d’hyperstaticité extérieur. $r$ est le nombre de réactions aux appuis. $\ell$ est le nombre d’efforts dans les liaisons intérieures. $b$ est le nombre de barres. Cette formule n’est valable qu’en 2D. En 3D, il faut remplacer les 3 par des 6.

On peut calculer $l$ avec l’expression suivante :

où $n$ est le nombre de liaisons (internes + appuis), $i$ désigne la $i$-ième liaison, $d_i$ le nombre de DDL bloqués par ce type de liaison (par exemple 2 pour un pivot, 1 pour un appui à rouleaux, 3 pour une rotule, 6 pour un encastrement, etc.) et $k_i$ le nombre de barres qui arrivent à la $i$-ième liaison.

Si $h=0$, la structure est isostatique. Si $h>0$, elle est hyperstatique. Si $h<0$, elle est hypostatique : c’est un mécanisme.

En conclusion, si $D$ est le nombre de dimensions, alors :

Énorme cette formule !

ça simplifie tout ! Merci infiniment !

Je me permets juste de vérifier que j'ai bien compris. Dans le cas où j'ai ma barre entre A et C (comme sur la photo que j'ai envoyée), j'ai $ h_{ext} = r - 3 = 3 - 3 = 0$. On considère $ r = 3$ même si la réaction d'appui horizontale en A est nulle ? J'ai hésité à prendre $r = 2$ du fait qu'elle soit nulle.

Quant à $h_{int}$, on a $h_{int} = l - 3 (b-1) = l - 3 (3-1) = l - 6$

Avec $ l = \sum_{i=1}^{i=3} d_i (k_i - 1) = 1 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times 1 = 6$

On trouve donc bien $h = 0$

Par contre, si je n'ai pas la barre entre A et C, j'ai donc :

$h_{int} = l - 3(b-1) = l - 3 (2-1) = l - 3$

Avec $ l = \sum_{i=1}^{i=3} d_i (k_i - 1) = 1 \times 0 + 3 \times 1 + 2 \times 0 = 3$

Par contre, là aussi je la trouve isostatique. Ce n'est pas normal ça.

Oui, $r=3$ même si l’effort horizontal est nul. Il faut considérer l’appui de manière isolée pour déterminer $h$.

Sans la barre AC, je trouve bien $h=-1$. Ton $\ell$ est faux puisque tu as oublié la rotule qui lie les deux barres. En comptant cette rotule, $\ell=2$ (et non zéro) et donc $h=-1$ et pas $-3$.

J'ai dû rater un épisode

Tu as 3 liaisons pour le calcul de $l$. La première (c'est un appui glissant) a 1 DDL bloqué mais elle n'est liée qu'à une seule barre, donc on a $1 \times (1-1) = 0$. La seconde est la rotule. Elle a donc 3 DDL bloqués et elle est liée à 2 barres (AB et BC), donc on a $ 3 \times (2-1) = 3 \times 1 = 3$. La dernière (c'est un appui simple) de tout cela, soit $0 + 3 + 0$, je trouve donc bien $l=3$ et $h = 3-3 = 0$.

Non :

• En A (appui simple) : deux DDL bloqués (translations) et une barre donc $\ell_A=2(1-1)=0$ ;
• En B (pivot) : deux DDL bloqués (translations) et deux barres donc $\ell_B=2(2-1)=2$ ;
• En C (appui à rouleaux) : un DDL bloqué (translation verticale) et une barre donc $\ell_C=1(1-1)=0$.

Donc : $\ell=\ell_A+\ell_B+\ell_C=0+2+0=2$.

Ah mince, j'ai confondu la rotule avec le pivot.. Autant pour moi..

Mais alors, je ne comprends pas, quand j'ai la barre AC qui existe, j'ai :

• En A (appui simple) : deux DDL bloqués (translations) et deux barres donc $\ell_A=2(2-1)=2$ ;
• En B (pivot) : deux DDL bloqués (translations) et deux barres donc $\ell_B=2(2-1)=2$ ;
• En C (appui à rouleaux) : un DDL bloqué (translation verticale) et deux barres donc $\ell_C=1(2-1)=1$.

Donc : $\ell=\ell_A+\ell_B+\ell_C=2+2+1=5$.

D'où $h_{int} = l - 3 (b-1) = 5 - 3(3-1) = -1$. ça ne va toujours pas.