Problème en optique

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Bonjour, je bloque sur un problème d'optique. Voici l'énoncé, puis mon raisonnement et mes questions :

Pour ceux qui n'auraient pas vu, la question est en bas à droite! :-D

Dans un premier temps, voici comment je schématiserai la chose :

O1 et O2 sont les deux lentilles convergentes. Je ne représente pas les foyers ni les rayons car je simplifie au maximum

Selon les dimensions, on aurait $Y_B = 0,013$ m et $Y_{B''} = 4.75$ m, d'où le grandissement suivant :

$\gamma = \dfrac{Y_{B''}}{Y_B} = 365$.

Comme on cherche $X_A$, on a par la relation de conjugaison :

$\dfrac{1}{X_{A''}} - \dfrac{1}{X_A} = V = V_1 + V_2 = 16.7$

A partir de ce moment, j'ai songé à considérer $X_{A''} = 25$ m (la profondeur de la salle tout simplement), comme si ce passionné de cinéma aurait d'abord essayer de positionner son projecteur au fond de la salle, puis de l'avancer progressivement.

Autrement dit, il faut nécessairement que $\dfrac{X_{A''}}{X_A} = 365$, donc je résous $\dfrac{1}{X_{A''}} - \dfrac{1}{X_A} = V = V_1 + V_2 = 16.7$, et je teste le grandissement. Pas de bol, je tombe sur $X_A = -0.06m$ et donc $|\gamma| = 416$…

Aussi, une question : Quelle est l'utilité de 24.00mm et 9.25m dans les dimensions, pour répondre à la question? Je réfléchi encore.

EDIT : La réponse est autour de $X_{A''} = 22$ m car $\dfrac{22}{\dfrac{1}{16.7-\dfrac{1}{22}}} = 366.4$ …

Vous avez une idée? Merci d'avance. :-)

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Salut,

Tu as trouvé deux équations qui relient $X_{A''}$ et $X_A$. Tu peux donc calculer directement leur valeur, tu n'as pas besoin de poser une hypothèse supplémentaire sur la valeur de $X_A$.

Pour l'utilité de 24.00mm et 9.25m dans les dimensions : comme tu as les dimensions en largeur et en hauteur, tu peux calculer un grandissement pour la largeur et un grandissement pour la hauteur. Il faut ensuite choisir le bon grandissement, celui qui te permettra d'avoir toute ton image sur l'écran.

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On peut résoudre le système avec le grandissement et la relation de conjugaison, oui.

Le choix de la valeur du grandissement se fait avant. En fait, ton système de lentilles ne te permet d'en avoir qu'un seul (on suppose que si tu fais tourner tes lentilles autour de leur axe, cela ne change rien : elles sont symétriques par rotation). Les dimensions que te donne le problème te permettent d'en calculer deux (un en faisant le rapport des largeurs entre l'écran et l'image pellicule, et un en faisant le rapport des hauteurs). Pour le premier, cela revient à dire : "je veux que mon image remplisse toute la largeur de mon écran de cinéma" et pour le deuxième "je veux que mon image remplisse toute la hauteur de mon écran de cinéma".

Dans ton cas, tu as choisi de faire le rapport des hauteurs (c'était voulu ou c'est parce que tu as l'habitude de faire des schémas de lentilles avec des hauteurs pour les objets ?). Tu en déduis un grandissement $\gamma$. Il te faut maintenant appliquer ce grandissement sur l'autre dimension de la pellicule, nommons-la $Z_A$. Tu vas obtenir une valeur $Z_{A''}$. Ensuite, tu compares cette valeur avec la dimension de l'écran de cinéma. Qu'obtiens-tu, et qu'est-ce que ça veut dire pour l'image ?

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J'ai l'habitude de manipuler les hauteurs $Y_{B'}$ et $Y_B$ car mon cours énonce la relation $\dfrac{Y_{B'}}{Y_B} = \dfrac{X_{A'}}{X_A}$, donc c'était instinctif par rapport à l'énoncé.

Du coup, on aurait $\dfrac{Z_{A''}}{Z_A} = 365 \leftrightarrow Z_{A''} = \dfrac{365}{1/Z_A} = 8,76m$.

De ce fait, la largeur réelle est à peu près 1.05 fois plus grand, il faut donc ajuster en cherchant $X_{A''}$…

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Par "la largeur réelle", tu veux dire "la largeur de l'écran" ?

Si je comprends bien, tu voudrais que ton image fasse exactement la taille de l'écran, en largeur ET en hauteur. Ce n'est possible que si les rapports largeur de l'image pellicule/hauteur de l'image pellicule et largeur écran/hauteur écran sont égaux.

Sinon, cela signifie que l'image ne prendra pas tout l'écran dans une des deux dimensions. À ce moment-là, elle peut soit dépasser de l'écran soit être légèrement plus petite que l'écran (toujours dans une des deux dimensions). Le cas que tu as calculé en trouvant 8,76m correspond au cas où elle est légèrement plus petite que l'écran.

Pour t'en convaincre, tu peux refaire ton calcul en choisissant d'ajuster l'image à l'écran dans le sens de la largeur. Tu obtiens alors un autre grandissement et cette fois, tu en déduis $Y_{B''}$. Que vaut alors cette valeur par rapport à la hauteur de l'écran ?

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Oui, je parle de la largeur de l'écran, pardon pour l'abus de langage.

J'imagine qu'il faut ajuster et que les rapports ne seront jamais exactes, mais l'idée peut être de calculer le grandissement maximal. Je réfléchis encore à comment procéder.

J'obtient $\gamma = 385$ en arrondissant, avec le rapport : $\dfrac{9,25}{0.024}$. Donc si $\dfrac{Y_{B''}}{Y_B} = \dfrac{9,25}{0.024} = 385$, $Y_{B''} = 5,005m$. Donc l'image débordera légèrement de l'écran.

Ici, le rapport avec la hauteur de l'écran nous donne une image 1,053 fois plus grande, on est quasiment au même rapport que le précédent.

Du coup, on choisi comme grandissement de référence 385 ou 365, puis on cherche $X_{A''}$. Le problème, c'est qu'on ne connait pas $X_A$, donc il faut sûrement passer par un système d'équation avec la relation de conjugaison :

$$\left\{\begin{aligned} \dfrac{X_{A''}}{X_A} &= 385 \\ \dfrac{1}{X_{A''}} - \dfrac{1}{X_A} &= 16.7 \end{aligned}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} X_A &= \dfrac{X_{A''}}{385} \\ \dfrac{1}{X_{A''}} - \dfrac{385}{X_{A''}} &= 16.7 \end{aligned}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} X_A &= \dfrac{X_{A''}}{385} \\ \dfrac{X_{A''} - 385X_{A''}}{X^2_{A''}} &= \dfrac{-384X_{A''}}{X^2_{A''}} &= - \dfrac{384}{X_{A''}} &= 16,7 \end{aligned}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} |X_{A''}| \simeq 23 \\ X_A \simeq 0.06 \end{aligned}\right.$$

Tu remarques la valeur absolue dans mon système, en fait, mathématiquement, ça à sens de considérer $\mathbb R-$ et $\mathbb R+$ dans notre système optique, si on considère l'axe optique comme la droite des réelles (autrement dit, si on place deux vecteurs unitaires i et j sur notre schéma, on considère un repère orthonormée (O, i, j)) mais je suppose que ça n'en a pas physiquement.

EDIT : J'ai l'impression qu'il y a un pépin, je n'arrive pas à voir. Peut être un manque de précision. Je peux essayer de faire la même chose pour $\gamma = 365$ et expliquer que les deux configurations sont possibles mais que l'image sur l'écran ne sera pas optimale, ou bien il y a une seule valeur de $\gamma$ qu'il faut encore que je cherche?

Mon dieu, il me reste encore bien des problèmes à résoudre, en prime, et celui-ci me pose déjà problème! Enfin, c'est en forgeant que l'on devient forgeron. :-D

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Ton raisonnement pour le système d'équation est bon.

Comme ton énoncé n'en dit pas plus, je pense que tu peux te contenter de choisir l'un ou l'autre des $\gamma$. Personnellement, j'aurais pris celui qui permet d'avoir l'image entière sur l'écran (ça me paraît bizarre de la laisser déborder :p ).

Pour ta valeur absolue : si, ça a du sens physiquement de regarder les signes. Et ton schéma de départ ne me paraît pas correct de ce point de vue : en relisant l'énoncé, les deux lentilles sont accolées, c'est-à-dire équivalentes à une seule lentille (dont tu as su calculer la distance focale d'ailleurs). Donc ton A''B'' devrait être dans l'autre sens et tu ne devrais pas avoir la place de dessiner un A'B' (puisque les centres O1 et O2 sont confondus). Le grandissement est négatif, et en faisant attention aux signes tu ne devrais pas avoir besoin d'introduire cette valeur absolue.

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Comme ton énoncé n'en dit pas plus, je pense que tu peux te contenter de choisir l'un ou l'autre des γγ. Personnellement, j'aurais pris celui qui permet d'avoir l'image entière sur l'écran (ça me paraît bizarre de la laisser déborder :p ).

J'ai plus souvent était confronté à ce genre de problème, mais je peux toujours résoudre deux systèmes et expliquer les deux situations.

Pour ta valeur absolue : si, ça a du sens physiquement de regarder les signes. Et ton schéma de départ ne me paraît pas correct de ce point de vue : en relisant l'énoncé, les deux lentilles sont accolées, c'est-à-dire équivalentes à une seule lentille (dont tu as su calculer la distance focale d'ailleurs). Donc ton A''B'' devrait être dans l'autre sens et tu ne devrais pas avoir la place de dessiner un A'B' (puisque les centres O1 et O2 sont confondus). Le grandissement est négatif, et en faisant attention aux signes tu ne devrais pas avoir besoin d'introduire cette valeur absolue.

Soucis de compréhension du fonctionnement interne du projecteur, en fait, j'ai tenté de regarder des coupes transversales sur internet, car je ne comprenais pas le machin. Donc si je refais mon schéma, on aurait :

Les rayons et l'échelle sont absolument superficiels

Du coup, on peut simplement noter $A'$ et $B'$?

Pour les calculs, j'obtient donc $X_{A'}$ autour de 22 mètres pour $\gamma = 365$ et autour de 23 mètres pour $\gamma = 385$

Merci beaucoup pour ton aide. ^^

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Bonjour, je me permet de poser une autre question, cette fois-ci sur un autre exercice (mais je préfère ne pas ouvrir un autre sujet) :

Image utilisateur

Voici mon raisonnement, puis mes questions :

Ces petites gouttelettes sont en équilibre dans un condensateur plan, elles subissent l'intensité de pesanteur et une force électrostatique. Or, la somme de ces forces s'annule :

$m\vec{g} + q\vec{E} = \vec{0} \Leftrightarrow mg - qE = 0 \Leftrightarrow mg = qE \Leftrightarrow q = \dfrac{mg}{E}$.

D'une part, d'après les données de l'exercice : $mg = \dfrac{4}{3}πR^3p_hg$ et $E = \dfrac{|U|}{d (=0,02m)}$.

Donc je test les valeurs de $E$ pour plusieurs tensions électriques et j'en déduis par la formule $q = \dfrac{mg}{E}$ la charge des gouttes.

Or, je suis perdu à cet instant, je ne vois plus comment continuer pour trouver la charge élémentaire.

Je sais que le poids des gouttes est proportionnel à leurs charges, donc que la borne - du condensateur plan est la plaque du bas (l'explication est sûrement confuse, corrigez moi si nécessaire).

Merci chères clémentines. :-)

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Honnêtement, en lisant le sujet, j'ai eu dû mal à voir où ils voulaient en venir…

L'idée est, je pense, que les gouttelettes sont à l'équilibre, mais pas en même temps. Il y a une gouttelette à l'équilibre pour 6920 V, une autre pour 8290 V…

Comme tu sais que tu cherches à montrer que le q calculé ne peut être qu'un multiple du q électronique, tu cherches une constante qe telle que tu puisse écrire chaque q comme qe x Ki, avec Ki un nombre entier.

Je suis allé voir sur Wikipédia l'expérience de Millikan originelle, et il mesurait la vitesse de chute des gouttes chargés, et constatait qu'il y avait un l'écart minimum de vitesse. Les écart suivants étaient des multiples du premier. C'est à ce moment là seulement que j'ai pigé que les gouttes ne pouvaient pas être à 'équilibre ensemble (ça, je le savais, mais je ne voyais pas comment résoudre le truc).

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Salut,

C'est vrai que la formulation de l'énoncé porte à confusion. J'interprète le "toutes les gouttelettes sont de même charge électrique" par "à une tension donnée, on considère que toutes les gouttelettes sont de même charge électrique" (donc on fait six fois l'expérience et chaque fois, les gouttelettes ont une charge différente). C'est un peu artificiel, dans la réalité, on observerait plutôt ce que décrit Gabbro (des gouttelettes à l'équilibre, mais pas en même temps).

Tu as la bonne formule pour la charge (au signe près), tu peux déjà la calculer pour chacune des tensions et regarder ce qui se passe.

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Bonjour, merci pour vos réponses et désolé de ne pas avoir répondu plus tôt.

J'ai donc essayé toutes les tensions électriques et j'ai trouvé les charges suivantes :

  • $q_1 = 2,37e-7 C$
  • $q_2 = 1,93e-7 C$
  • $q_3 = 1,53e-7 C$
  • $q_4 = 1,15e-7 C$
  • $q_5 = 7,69e-8 C$
  • $q_6 = 3,87e-8 C$

L'idée, c'est donc de trouvé une charge constante pour laquelle $\dfrac{q_i}{q_e} = k_i$, un entier naturel. Donc cette charge, c'est la charge élémentaire, c'est ça? Pourtant, $\dfrac{q_1}{|q_e|} = 1,45e12$… :-°

PS : D'après la page wiki de l'expérience, la borne - du condensateur plan est vers le haut.

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Refais tes calculs. Je l'ai fait pour le premier seulement (en partant de tes formules, j'ai confiance :P ),

1
2
3
4
5
6
7
>>> mg = 4 / 3 * 3.14 * 2.07e-6**3 * 912 * 9.8
>>> E = 6920 / 0.02
>>> mg/E # donc q
9.592332763605088e-19
>>> q_e = 1.6e-19
>>> mg/E /q_e
5.99520797725318

Autant dire 6 (oui, je triche, je connait déjà la réponse, à savoir qe=1,6.10-19 C). Si tu le fais pour tous, tu devrais trouver tes ki.

Mais la méthode m'a l'air bonne.

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Il est fort possible que j'ai fait des erreurs, je vais recommencer.

Ah non, en fait c'est peut être la calculatrice avec le signe pi, c'est pas le même résultat avec 3,14.

Bon, cette méthode semble bonne, en même temps je n'en voit pas d'autres.

EDIT : Tu as trouvé koi comme résultat pour mg? Il se passe quoi ici : "2.07e-6**3"?

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C'est la mise au cube.

$$m = V \rho = \frac{4}3 \pi R^3 \rho$$

La masse est le produit du volume par la masse volumique. Ce sont des sphères, le volume d'une sphère de rayon R est $\frac{4}3 \pi R^3$. Le rayon de nos petites sphères est 2,06µm. Toi, j'ai bien l'impression que tu as oublié de mettre le rayon au cube. ^^

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Ah, oui, j'avais oublié cela dans la formule…

Donc l'idée est que plus on augmente la tension, plus la charge de la gouttelette en équilibre se rapproche de la charge élémentaire $e = 1,6e-19$.

Quand est-il du signe? Elle est censé être négative, non (la charge)?

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Donc l'idée est que plus on augmente la tension, plus la charge de la gouttelette en équilibre se rapproche de la charge élémentaire e=1,6e−19.

Ozmox

Euh… Tu pourrais m'expliquer comment tu déduis cela ?

(Piste : que signifie le mot "élémentaire" dans "charge élémentaire" ?)

Et oui, la charge est négative. Attention au signe dans tes équations. Dans ton équation $mg-qE=0$, tu as défini la charge q positive ou négative ? Et le champ électrique E ?

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Ouais, enfin le signe, on s'en fout un peu dans ce cas là (ne jamais dire ça à ton prof, mais tu as le droit de le penser très fort).

Sinon, je reprends la remarque d'Emel,

Euh… Tu pourrais m'expliquer comment tu déduis cela ?

Je te conseille d'aller lire la page wikipédia sur l'expérience de Millikan si tu vois pas trop ce qu'il se passe.

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Donc l'idée est que plus on augmente la tension, plus la charge de la gouttelette en équilibre se rapproche de la charge élémentaire e=1,6e−19.

Ozmox

Euh… Tu pourrais m'expliquer comment tu déduis cela ?

(Piste : que signifie le mot "élémentaire" dans "charge élémentaire" ?)

Emel

En fait, en faisant les calculs de la charge de chaque gouttelettes en équilibres à chacune des tensions données dans l'énoncé, je remarque que cette charge se rapproche de la charge élémentaire lorsque la tension augmente. Pour $U = 4.13e4$, je trouve $q = 1.6e19$.

La charge élémentaire, c'est la charge d'un électron (elle est négative, dans ce cas) ou d'un proton (elle est positive, dans ce cas) dans un atome.

Et oui, la charge est négative. Attention au signe dans tes équations. Dans ton équation $mg−qE=0$, tu as défini la charge q positive ou négative ? Et le champ électrique E ?

La charge q est définie négative. Le truc, c'est que les données de l'énoncé me font tomber sur la charge d’une gouttelette positive, puisque les tensions sont positives (donc le champ électrique l'est aussi). En résolvant l'équation, la charge est donc forcément positive puisque la masse ou l'intensité ne peuvent être des données négatives! Je sais pas si vous avez compris, mais bref…

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