Introduction
En sciences, de nombreux phénomènes sont décrits par des systèmes d'équations différentielles. Dans certains cas, il est impossible ou peu intéressant de les résoudre de manière exacte.
Le rythme est cassé par le point. Je dirais plutôt :
En sciences, de nombreux phénomènes sont décrits par des systèmes d'équations différentielles, qu'il est, dans certains cas, impossible ou peu intéressant de résoudre de manière exacte.
Il s'agit alors de laisser de côté les méthodes formelles pour travailler directement avec des nombres. C'est
Là aussi, le point fait brutal. Plutôt :
Il s'agit alors de laisser de côté les méthodes formelles pour travailler directement avec des nombres : c'est
C'est que qu'on appelle
Il s'agit ici d'une pure question de goût personnel, mais je préfère :
On appelle cela
Présentation de la méthode d'Euler
Avant de rentrer dans le vif du sujet
Je pense justement que tu rentres trop rapidement dans le vif du sujet. Tu donnes l'équation différentielle sur laquelle nous allons travailler, mais tu n'expliques pas comment tu l'obtiens. Afin d'accrocher le lecteur, tu devrais prendre un exemple physique rigolo, obtenir une équation différentielle puis dire un truc du genre : "plus généralement, on travaille sur des équations du type". En fait, il faudrait que tu reprennes la section "Position du problème" de l'exemple travaillé. Mais autant dénicher un autre phénomène physique. 
L'avantage de commencer par un exemple est que tu pourras l'utiliser tout du long de l'extrait pour illustrer tes propos (au niveau de la discrétisation par exemple).
Voilà un exemple d'équation
J'en fournirais également un avec du $t$. Le mieux serait de faire un tableau à deux colonnes : une pour l'équation et une pour $f$.
En pratique, ce seront des valeurs approchées.
Ce n'est, je pense, pas assez explicite. Je dirais plutôt :
En pratique, nous n'obtiendrons qu'une valeur approchée de la solution de l'équation différentielle.
Mais cela me fait penser que tu devrais préciser, en début d'extrait, qu'on sait qu'il existe une unique solution à l'équation différentielle considérée (problème de Cauchy). Juste le rappeler.
entre l'instant actuel, et l'instant suivant
La virgule me semble de trop.
On peut déjà avoir l'intuition que l'écart entre deux instants ne doit pas être trop important
Le "doit" n'est pas assez clair. Au début, je l'ai pris au sens "forte probabilité". Plutôt :
On peut déjà avoir l'intuition qu'il ne faut pas que l'écart entre deux instants soit trop important
on obtient, à l'instant tk :
on obtient le schéma numérique d'Euler.
Peut-être mettre un signe "à peu près égal" ?
Il manque encore deux choses sur le fond, selon moi :
- Une mise en contexte (l'équation différentielle-type arrive trop tôt) ;
- Un exemple de la vie courante de discrétisation (je vais réfléchir à ce point).
Exemple travaillé : chute avec frottements fluides
Il sera d'autant plus freiné que sa vitesse est grande
"sera grande", non ?
puis atteindre une vitesse limite
une valeur limite
on modélise notre problème
"modélisons notre" me semble plus dynamique.
L'objet à une masse m
a
et opposée au mouvement
Il y a déjà un "et" juste avant donc j'enlèverais celui-ci.
on obtient une équation différentielle régissant la vitesse v de l'objet.
Je définierais $g$, au moment où tu dis "Il est soumis à la gravitation terrestre".
On utilise des instants successifs pour l'approximation de la dérivée
"pour l'approximation de la fonction", non ?
Cette valeur est trop grande, comme nous allons le voir plus loin.
Tu ne fais pas trop écho à cette phrase plus bas dans l'extrait. A moins que "plus loin" signifie "l'extrait suivant" ?
Comme on peut s'y attendre
(et le démontrer)
que notre équation
différentielle
On peut voir clairement les deux solutions sur le graphique suivant.
Je chipote, mais ça me semble bizarre de considérer notre approximation comme une solution de l'équation différentielle.
Précision, convergence et stabilité
définition formelle de la dérivée, qui est la limite quand
limite, lorsqu'elle existe, quand
La figure suivante illustre cela sur l'exemple de la section précédente
extrait précédent
à cette fin dans la conclusion
La formulation est un peu bizarre, bien que correcte. Je dirais plutôt :
à ce propos
La précision diminue avec l'augmentation du pas de temps.
Je dirais plutôt :
La précision augmente avec la diminution du pas de temps.
On ne distingue pas très bien la couleur de la solution exacte de celle avec un pas de 0.5s. Mais bon, je suis daltonien.
les erreurs de calculs
calcul
n'est pas infiniment précise ; elle
Plutôt un double-point.
Elle peut être soit amplifiées
amplifiée
les valeurs prises par la solution exacte
exacte $v^{th}$
En effectuant un développement limité en tk, on obtient :
J'expliquerais comment tu fais le DL (Taylor-Young, $v$ de classe $\mathcal C^1$) : ça satisfait les matheux et n'handicape pas les autres.
développement limité; c'est
limité, c'est
c'est aussi ici l'erreur de consistance
C'est
c'est-à-dire l'erreur due à la méthode d'Euler en supposant le résultat juste à l'étape précédente
Ce n'est pas très clair. Je dirais plutôt :
c'est-à-dire l'erreur introduite par la méthode d'Euler en partant d'une valeur exacte
puisque déjà la valeur initiale v_0
Problème Markdown.
devant le pas quand le pas tend vers zéro
quand ce dernier
À une étape k du calcul, une erreur δk due à l'approximation d'Euler est présente.
Ce n'est pas très clair, parce que dans la note précédente, tu parles de l'erreur due à la méthode d'Euler. Du coup, on ne sait plus trop si cette erreur esy $e_k$ ou $\delta_k$.
Par simplification, on laisse tomber ek, tout en conservant l'égalité.
Ne peut-on pas justifier mathématiquement cette simplification ? Quantifier l'approximation ? Là, la note n'est pas très claire.
Dans ce cas là
cas-là
qui est facile à étudier
Je préfère :
qu'il est facile d'étudier
Conclusion
Sur un exemple, nous avons vu comment augmenter la précision de la méthode en réduisant le pas de temps
En le réduisant avec mesure.
ainsi que les méthodes
que sur
Mais peut-être "puis sur" ?
Merci !
