Enseigner les Mathématiques

Pourquoi ? L'étude sur $\mathbf R$ ne permettrait-elle pas de donner l'intuition de la notion de convergence ? Une fois cela fait, on se rendrait compte qu'en fait on a juste besoin d'une norme pour définir cette notion et donc qu'on peut généraliser à tous les EVN.

Je sais plus quoi te dire elegance. Tu es capable de donner les arguments qui montre que ta réflexion est nulle. Du coup je m'arrête là. Il te suffirait de te relire …

En principe si on aborde la topologie des e-v-n c'est qu'on connait déjà les principaux éléments d'analyse réelle. Donc pas besoin de faire ces rappels qui peuvent être pris comme pré-requis raisonnable.

S'il y a besoin d'exemples plus simples et d'exercices ça devrait être au TD de les donner. Tout au plus faire une remarque du style "la valeur absolue est une norme sur $\mathbf{R}$". Mais passer plusieurs pages dessus me paraît une très mauvaise idée puisque ça alourdit le cours inutilement.

Voilà une conclusion qui manque singulièrement d'élégance.

Je n'avais pas rebondi sur cette phrase : "Pour le coup non. Tu peux pas prouver (et d'ailleurs c'est parce que c'est faux) que réduire la vitesse limite ne fera pas descendre ce taux. D'ailleurs c'est ce que semble montrer les résultats de la baisse de la limite de vitesse sur notre très cher periph." Je ne vais pas développer, c'est visiblement inutile, mais tous les chiffres disponibles confirment exactement tout ce que j'ai écrit.

Le bilan de cette histoire, c'est quoi : c'est qu'effectivement l'EN a un énorme chantier devant elle.

@Holosmos : s'il n'existe pas de cours sur ZdS à propos de la notion de convergence sur $\mathbf R$, en quoi serait-ce absurde de faire un tutoriel de la forme :

• I. La convergence sur $\mathbf R$
• II. Extension aux EVN

Ce qui te dérange, c'est que ça apparaisse dans le même tutoriel ?

Humm je crois comprendre ce que tu essayes de me dire. Jusque là, j'ai supposé que les pré-requis étaient disponibles quelque part (et l'auteur peut mettre une référence) mais j'ai pas dit où.

Certes, sur ZdS, j'aimerais y voir une construction "autonome". C'est-à-dire que l'on pourrait à chaque référence donner un lien vers ZdS (et pas vers d'autres livres par exemples).

Maintenant, est-ce qu'il ne serait pas plus judicieux de faire le travail en deux parties ce qui permettrait de le rendre simple : un tuto d'analyse réelle, un tuto sur la topologie des e-v-n (par exemple) ?

Parce que, oui, ça me dérange d'avoir les deux au même endroit parce que ça tue complètement l'esprit de simplicité. Certes, ce sera peut-être plus facile à comprendre, mais ce serait au pris d'un cours long à lire et à étudier alors que passer d'une référence à l'autre est un geste qui devrait être enseigné et est efficace.

En clair, ce serait pas plus mal que les élèves apprennent à passer d'un écrit à l'autre quand ils ont besoin de quelque chose. Ça fait partie de l'apprentissage de savoir se débrouiller tout seul en terrain inconnu

Je m'étais demandé s'il était possible de cartographier les maths. Je m'explique : avoir une sorte "d'arbre des technologies" (comme dans les jeux de stratégie) et lorsqu'on veut apprendre une notion, on a le chemin à parcourir pour y arriver, avec tous les notions pré-requises. Un tel parcours serait donc organisé en mini-cours, chacun sur un sujet précis. Par exemple, si pour mon parcours j'ai besoin des groupes mais pas des anneaux, je n'aurais pas besoin de lire un cours entier sur les structures algébriques, mais uniquement sur les groupes. Et même le cours sur les groupes serait divisé en sous-cours, dont certains optionnels. On pourrait ainsi avoir des tutos à la carte par exemple.

Le problème que je vois, c'est que chaque cours serait un peu décontextualisé, donc on n'aurait que la méthode axiomatique pure et dure pour mener un tel cours, ce qui va à l'encontre de ce qu'on prône comme pédagogie depuis le début.

Ça me paraît compliqué de cartographier les maths, comme tu le dis. Déjà parce qu'il y a beaucoup plus de maths que de technologies (pour continuer la comparaison) mais aussi parce que beaucoup d'approches différentes existent et donc ça me paraît déjà assez compliqué de se mettre d'accord sur les pré-requis d'un cours en particulier.

Ensuite, l'idée de cours à la carte est pas bête. Je crois que ça existe déjà, mais à une échelle différente. L'ensemble de la théorie des groupe connue n'est jamais dans un seul livre, en ce sens ça ressemble à ce que tu dis.

Après à l'échelle de plus petits apprentissages je suis mitigé. Si certaines parties du cours peuvent être optionnelles, pourquoi sont-elles là? Si on veut faire un cours approfondi cela devrait être un but clair et donc non optionnel.

Sinon c'est le genre de chose dont je rêve sur ZdS. Pouvoir apprendre pile ce qu'on veut de la manière la plus simple possible, ce serait le top. Mettre certaines parties du cours en optionnel reviendrait simplement à faire un tutoriel à côté avec ces notions avancées et mettre en pré-requis le tuto principal.

C'est certainement possible, et je serais le premier à vouloir travailler dessus. Mais il faudrait déjà identifier les notions en question : s'agit-il de théorèmes, de théories, de classes/catégories d' "objets" mathématiques (comme les structures algébriques, opérations, nombres, les suites, les fonctions, etc). Certaines sont plus centrales que d'autres, et organiser une progression demandera de mettre une forme de notion au premier plan, les autres étant des notions dérivées, plus périphériques.

Personnellement, je partirais de classes d'entités en premier lieu, avant d'ajouter les théorèmes et notions qui s'y rapportent en périphérie. Et en faisant cela, on pourrait certainement rajouter d'autres types de liens dans la liste, et ne pas se limiter aux liens de pré-requis. Personnellement, je serais pour créer une autre forme de cartographie : une taxonomie des classes d'entités mathématiques. Ce serait très utile pour l'apprentissage, et notamment pour éviter de répéter les choses deux fois : on voit une notion dans le cas le plus général, et on laisse l'héritage faire le travail.

J'ai vraiment envie de m'y coller, tiens !

Depuis le début, je suis sceptique sur le coup du : « Il faut aller du plus général au plus particulier. » Pour les maths en tout cas, ça ne peut pas fonctionner et ça ne fonctionnera jamais.

Sinon, il faudrait commencer par la logique mathématique, puis la théorie des ensembles, puis la théorie des catégories, puis des groupes, anneaux, modules, corps, espaces vectoriels, etc. Personne n'aura jamais idée de faire un cours comme ça. Enfin, si, Bourbaki l'a fait. Mais Bourbaki n'est pas à l'usage du débutant en maths, au contraire : sa lecture est recommandée pour avoir une approche plus pure et élégante de notions déjà connues.

Attention : je ne dis pas qu'aller du général au particulier fonctionne toujours, que ce soit pour les mathématiques ou tout autre matière. En mathématique, rien que pour quelque chose d'aussi élémentaire que les nombres et opérations, ce n'est pas possible. Et je pourrais aussi citer de nombreux autres cas où cela ne marche pas (à vrai dire, la majorité de ce qu'on apprend avant l'enseignement supérieur…).

Par contre, il y a certains cas où cela peut s'appliquer. Par exemple, j'ai l'impression que c'est le cas pour les structures algébriques. Et faire cette taxonomie pourrait permettre de remarquer dans quels cas c'est utile, et dans quels cas çà ne l'est pas.

Personnellement, si j'ai sortit cette idée, c'est parce que c'est quelque chose que je fais à chaque fois que le prépare un cours : je crée une taxonomie des notions que je vais aborder, à laquelle j'ajoute les liens entre chaque notion et ses "composants", ses "parts", et ses pré-requis. Au final, je me retrouve avec un "pseudo-diagramme UML" des notions à aborder (je ne déconne pas, je le fais vraiment…), et je base le plan de mon cours en fonction de ça. Et aussi bizarre que cela puisse paraitre, ça m'aide énormément à construire mes progressions.

Je ne répondais pas à ton idée de taxonomie, que je trouve excellente, mais aux messages rédigés précédemment, par plusieurs personnes (modulo les nuances d'une intervention à l'autre, évidemment). Mais il est clair qu'essayer d'ordonner et de ranger les différentes branches des maths, c'est une bonne idée et je suis curieux de voir ce que ça va donner. La tâche n'est pas aisée, mais sera sans nul doute instructive.

C'est pas tout à fait ce que je proposais.

L'idée était qu'au sein d'un même cours (dont on connait un programme) il faut essayer de rester le plus simple possible.

Il ne s'agit pas de faire un enseignement des maths où on passe direct à la case topologie des e-v-n avant de discuter de l'analyse réelle. Mais dans un cours qui traite de topologie des e-v-n, il me semble préférable de ne pas passer par la case (déjà connue !) de premiers éléments l'analyse réelle.

Un type qui a réussi à faire ça (dans un autre domaine) avec maestria, c'est Diu. Son livre de physique statistique est découpé en 5 parties (+ annexe). Chaque partie est découpée en 2 : un bout principal et de longs compléments. Pour lire la partie X, je dois connaître les notions des bouts principaux des parties 1 à X-1, mais je n'ai pas besoin d'avoir lu les compléments. La table des matières est sur google book. C'est le meilleur cours de Phy' stat' que j'ai lu.

Je ne sait pas si c'est imaginable en maths, mais lui a réussi son coup !

J'imagine que c'est un truc comme ça que vous verriez.

@Mewtow : si je comprends ce que tu veux faire, ce serait une sorte de diagramme de classes des objets mathématiques, c'est ça ? Au final, tu arriveras à un système à la Bourbaki, non ? Tous tes objets finiront par hériter de la classe Ensemble.

Je dirais que ça nécessiterait plusieurs cours pour une même notion. Par exemple, pour les nombres complexes, on aurait différents parcours possibles :

• équations > équations du second degré > nombres complexes (vus comme solutions d'équations)
• structures algébriques > corps > extension de corps > nombres complexes (vus comme extension de R)

Cela ressemblerait à une sorte de diagramme des classes, mais avec quelques changements. Premièrement, il n'y aurait pas de méthodes. A la place, chaque opération, fonction et action effectuées sur les objets mathématiques seraient des classes comme les autres, avec leurs attributs. Pour une opération, ce serait des attributs comme associative, distributive, etc. De même une fonction aurait des attributs comme paire, impaire, continue, dérivable, etc).

En plus des liens d'héritage et de composition, je rajouterais aussi d'autres formes de liens, à savoir :

• des liens entre concepts analogues, histoire de placer des concepts similaires les uns à la suite des autres ;
• des liens pour relier les opérations/fonctions avec leurs opérandes ou ensembles d'arrivée/départ ;
• les fameux liens de pré-requis, comme tu le souhaiterais ;
• et éventuellement d'autres formes de liens pour relier des notions qui vont bien ensemble et qui ne sont pas encore déterminés (par exemple, pour relier les nombres triangulaires avec les suites, ou la division euclidienne avec le PCGD, etc).

En faisant cela, on n'aurait pas forcément un système à la Bourbaki, contrairement à ce qu'on pourrait penser. Même si la classe "Ensemble" a de nombreux liens logiques avec beaucoup de notions, cela ne signifie pas du tout que l'on doive voir les ensembles avant : au contraire, cette taxonomie montrera que c'est plutôt le contraire, si on respecte les règles que j'ai énoncé dans mon tutoriel sur la pédagogie !

Et en plus, rien n'implique de partir du haut pour redescendre vers les concepts hérités : on pourrait parfaitement partir de classes dérivées pour induire des classes plus générales. D'ailleurs, la suite du message abordera le problème plus en détail.

Dans ton exemple, je dirais que la notion d'extension de corps n'est pas un pré-requis pour les nombres complexes, et que seules les équations du second degré le seraient. A la rigueur, la construction des complexes à partir des réels est un exemple (une instance de la classe…) "extension de corps", mais pas plus. De plus, pour savoir ce qu'est une extension de corps, mieux vaut savoir ce qu'est un corps et idéalement en avoir vu plusieurs "instances", les complexes en étant une assez intuitive.

La différence fondamentale entre "construction des complexes" et "solution d'équation du second degré" me semble être un cas de distinction très importante. C'est ce que j'appelle la différence entre approche constructive et descriptive.

L'approche constructive consiste à former des concepts à partir de concepts plus fondamentaux, situés à un autre "niveau d’abstraction". Avec cette approche, on connait le point de départ, mais pas le point d'arrivée, ce qui cause une certaine difficulté à appréhender les constructions. Et attention : ce que j'appelle l'approche constructive ne doit pas être confondue avec l'approche axiomatique, qui fonctionne à l'intérieur d'un niveau d'abstraction.

L'approche opposée est ce que j'appelle l'approche descriptive. Cette approche commence par décrire des concepts, avant de les construire ou de les démontrer à partir de concepts fondamentaux. Et c'est cohérent avec l'approche axiomatique dans le sens où avant de démontrer un théorème ou une propriété, on est obligé de l'expliquer avant. Par exemple, si je veux enseigner la proposition "tout nombre composé est un produit de facteurs premiers", je dois l'énoncer et donner des exemples et contre-exemples avant de la démontrer devant les élèves.

Le premier avantage de la méthode descriptive est qu'elle est plus cohérente dans le sens où elle enseigne à la suite les uns des autres des concepts situés au même niveau d'abstraction, dans la même théorie, dans un même ensemble cohérent de concepts, dans une même taxonomie. Par contre, dans le cas de la méthode constructive, ce n'est pas le cas.

De plus, décrire à fond les objets permet de donner une base plus solide pour démontrer et construire les concepts : cela permet de savoir où l'on va lors des constructions, vu qu'on connait le point d'arrivée de ce qu'on construit. Prenons l'exemple que j'ai cité dans le message de Looping. A mes yeux, pour comprendre la construction des complexes par extension du corps des réels, il vaut mieux savoir ce que sont les complexes et les réels pour mieux comprendre la construction.

Enfin, si décrire un objet est nécessaire pour le comprendre, autant savoir comment le construire à partir de concepts plus fondamentaux peut parfaitement être mis en attente durant un bon moment sans trop faire de mal. A mes yeux, les pré-requis d'un concept sont tout simplement les propriétés qui permettent de le décrire, qui sont souvent partagées avec des concepts similaires. Ainsi, mieux vaut séquencer des concepts similaires les uns à la suite des autres, quitte à construire ou démontrer à partir de concepts fondamentaux plus tard. D'où mon usage des taxonomies.

De manière générale, j'ai de sérieux doutes sur l'approche constructive. Et pas seulement en mathématique, mais dans presque toutes les matières. J'ai de plus en plus l'impression qu'on comprend mieux comment construire des concepts quand on les a intégrés à un ensemble de concepts du même niveau d'abstraction. Je dirais même qu'au lieu d'aller du plus fondamental vers les concepts construits, mieux vaut faire l'inverse. Après tout, les mathématiques sont parties de concepts pas franchement fondamentaux, qui ont permit de découvrir progressivement de plus en plus de concepts plus fondamentaux. Et si on a suivi cette démarche, ce n'est pas pour rien !

L'approche constructive a quand même un intérêt. Rien que pour établir des procédures/algorithmes pour répondre à certaines questions mathématiques.

Autant j'aime beaucoup l'idée de faire avec le moins possible au début, autant je suis pas sur que les matheux travaillent de cette manière. Je connais pas mal de matheux qui sont des problems solver (Artur Avila pour ne citer que lui), c'est-à-dire qu'ils apprennent par des exemples avant d'essayer de construire une théorie.

De manière générale c'est assez périlleux de catégoriser les matheux parce qu'il y en a pleins de sensibilités très différentes…

Désolé, je reprends le débat en cours et avec un peu de retard. Préparer au Lycée et donner un bagage minimal, sont deux objectifs distincts. On peut raisonner dans l'absolu en disant que tout le monde peut arriver au même niveau (ce qui est malheureusement faux, mais il faut être sur le terrain pour s'en rendre compte) pour peu que l'on sache moduler (ce qui oublie certaines contingences du type "un prof ne peut pas prodiguer 15 cours différents en même temps" ou "un ado ça marche pas au rationnel" ). Mais les faits sont têtus : avec 4H par semaine durant 4 ans pour tout le monde, il n'est pas possible que tous les élèves maîtrisent l'algèbre, la trigo et tout le reste du programme. Ce n'est pas du défaitisme, c'est un constat.

Ma question est la suivante : ne vaut-il pas mieux qu'un élève se destinant à la maçonnerie sache lire un plan, convertir des échelles, calculer des pourcentages, des surfaces ou des volumes que de connaître le théorème de l'angle inscrit ou la forme des fonctions affines ? Pourtant, je conçois mal des élèves découvrant les bases des fonctions à l'entrée en 1ère S. Sous prétexte de vouloir amener tout le monde au même point, nous n'y emmenons que quelques élèves en perdant trop de gosses en route, gosses qui se trouvent submergés par les difficultés. Être capable de diversifier les parcours après la 5^ème n'est pas choquant, de nombreux pays le font. Oui le niveau en Math en pâtira peut-être dans les textes, mais au moins les gosses sauront-ils faire ce qu'on leur enseignera. Ce serait moins hypocrite que de vouloir apprendre la trigo à des élèves qui maîtrisent mal les angles ou le calcul littéral à des élèves ne maîtrisant pas les 4 opérations de base.

Ou alors, il faut admettre qu'un élève puisse avoir besoin de plus d'heures de Math ou de Français, mettre les moyens humains derrière (bah oui, faut des profs), opérer des choix (un gamin ne peut pas faire des journées de 15H, cela se fera donc au détriment d'autres matières). Mais cela revient à créer des filières non plus en fonction de l'orientation mais des besoins d'apprentissages.

Pourquoi certains pays comme le Japon ou la Corée y arrivent avec des programmes scolaires beaucoup plus chargés, un apprentissage du comptage et du calcul qui commence en début primaire (nous, c'est en maternelle), et avec un nombre d'heures dédié aux mathématiques nettement moindre (l'apprentissage de leur écriture est chronophage), et pas la France ?

Pourquoi certains élèves n'y arrivent pas et seraient destinés à la maçonnerie dès la naissance ? Une histoire de gènes ?

Et surtout : pourquoi les pays qui différencient les parcours, comme tu le souhaite, ont des résultats nettement inférieurs aux autres pays dans TOUTES les comparaisons internationales ?

Tu prétends que c'est un constat (et d'ailleurs, tu dis qu'il faut être de la maison pour le voir, ce qui est bien signe qu'il y a un problème…), mais c'est faux. Je sais bien que beaucoup de professeurs pensent cela à tord, et c'est d'ailleurs spécifiquement français, mais certains pays n'ont pas cette mentalité et réussissent, eux. Simplement, leurs méthodes d'apprentissage sont meilleures. Singapour a sa méthode inspirée des travaux de Bruner, les méthodes d'apprentissage japonaises du calcul sont parmi les meilleures, certaines écoles américaines en milieu défavorisés commencent à utiliser le Schema Based Instruction, etc. Et nous, on a un débat entre Brissiaud et le GRIP, et Meirieu qui prône une différentiation qui ne peut pas marcher…

Non mais en fait, idéalement à l'école, il faudrait apprendre le français, les maths et les fondamentaux pour tout le monde. Mais il faudrait aussi que tout le monde ait des rudiments de maçonnerie, de menuiserie, de physique, de chimie, de musique, etc.

Évidemment, il faut faire des choix. Mais penser l'école comme un outil de séparation entre les travailleurs manuels et les autres — avec ou sans préférence pour l'un ou l'autre — est, à mon sens, une erreur. La pluridisciplinarité ne concerne pas que l'intellect. Personnellement, je n'ai jamais été très doué pour les travaux plastiques. Mais je suis certain que j'aurais pu être maladroit si j'avais eu l'occasion d'y être initié à l'école. Je n'aurais probablement pas terminé menuisier, mais j'aurais probablement eu une image plus fiable de la menuiserie.

Je ne dis pas que certains gamins sont génétiquement programmés pour faire de la maçonnerie ! ! ! ! Ce serait bien de ne pas systématiquement déformer mes propos ! Ce que je dis, c'est qu'avec le même programme (pas toujours cohérent, j'en ai parlé) pour tout le monde et le même nombre d'heures pour tout le monde, il n'y a que les hauts fonctionnaires de l’Éducation nationale pour croire qu'un gamin qui à 14 ans maîtrise toujours mal le sens des opérations aura un meilleur niveau parce qu'on lui ajoutera l'apprentissage des fonctions ou la résolution d'équations produits ! Pas besoin d'être "de la maison" pour comprendre ça, il faut juste avoir vu une fois dans sa vie un élève en difficulté, un VRAI élève en difficulté, pas un que l'on trouve dans les bouquins de pseudo-pédagogie ou de "science de l'éducation". Croire que nous sommes tous des Einstein en puissance, c'est beau, c'est noble mais c'est faux. Je ne dis pas pour autant que ces gosses doivent être abandonnés à leur compte, simplement qu'admettre ce type d'inégalité, c'est déjà commencer à réfléchir à sa résolution. Oui il est possible de mieux faire, oui ces élèves en difficulté peuvent mieux faire, mais non, ce n'est pas en cachant ces difficultés sous des objectifs "ambitieux" que l'on parviendra à les faire progresser.

@ c_pages : je pense également que des enseignements "moins intellectuels" seraient bénéfiques. Un peu de menuiserie et vous n'entendrez plus personne vous demander à quoi servent les Maths.

J'ai fait partie de ces élèves en difficulté, et mes professeurs m'ont d'ailleurs orienté vers des filières techniques. J'ai même réussit à passer le collège sans passer en filière professionnelle à l'arrachée. Et pourtant…

Après, j'ai l'habitude : ma mère est professeur de français, et ce discours, je l'ai entendu aussi bien de bouche que de ses collègues ou amis.

Et sinon, tu pourrais répondre aux arguments que j'ai avancé plus haut ? Pourquoi le Japon y arrive avec plus de désavantages que nous, pourquoi les pays avec une différentiation des parcours se viandent la gueule en terme de résultats, et pourquoi certains ne peuvent pas réussir (indépendamment de ces histoires de gènes) ?