Paradoxe mathématique ? Ou simple truc ?

Je dois dire que je suis profondément d'accord avec pierre_24. À mon avis, l'un des plus grands maux des maths dans la société, c'est de ne pas avoir su s'ouvrir sur le monde extérieur. Cela me chagrine profondément d'entendre des mathématiciens dont c'est le métier refuser de s'adresser aux gens extérieurs au domaine. Je suis vraiment peiné de voir que mêmes les amateurs éclairés comme tu sembles l'être tiennent un tel discours.

Le discours que tu tiens, Holosmos, est profondément élitiste et ne rend pas service à la discipline. Pour un amateur de maths, je trouve ça regrettable et même grave. Comment peut-on faire comprendre aux gens ce que sont les maths, à quoi elles servent et où se trouve leur intérêt, si l'on refuse de se tourner vers l'extérieur ? Il faut accepter de parler la langue commune pour se faire comprendre.

Je fais des maths sérieuses depuis quelques années maintenant, et j'ai toujours su faire varier mon discours selon les personnes avec lesquelles je discute. Je m'adresse à des gens qui sont du même niveau que le mien ? Je m'efforce d'être rigoureux et d'être aussi précis que possible. Je m'adresse à des personnes simplement curieuses et qui ont déjà une curiosité mathématique ? Je donne une plus grande place à l'intuition et je simplifie le vocabulaire autant que cela est raisonnable. Je m'adresse à des gens (nombreux !) pour qui les maths sont un domaine obscur et à l'utilité douteuse ? J'adopte un ton didactique et je choisis quelques exemples simples que j'essaye d'expliquer sans user de vocabulaire savant, et la plupart du temps j'y arrive bien. Cela demande des efforts, du temps et de la réflexion pour bien s'expliquer, mais on arrive à des conversations très intéressantes et au final, j'ai déjà réussi plusieurs fois à donner une bonne idée de ce que je fais quotidiennement à des personnes qui avaient une image très écornée de ce que sont les maths.

Vous pouvez me citer où est-ce que j'ai dit que je ne voulais pas ouvrir les maths à l'extérieur ?

Il y a un malentendu non ? Moi je soutiens le fait que vulgariser les maths de cette manière ça rend pas service. Après de là à en conclure que je suis contre toute vulgarisation c'est un peu rapide.

Faites attention quand même, commencez pas à me faire dire ce que je dis pas.

Sauf que dans le cas de la vulgarisation, ce n'est pas toi qui va voir les maths, mais elles qui viennent te voir. Quand je lis un article dans Pour la Science, je ne vois jamais de formule. C'est de la vulgarisation, avec tous ses raccourcis (même si le niveau des lecteurs permet de les limiter). Pourtant, régulièrement, je tombe face à des notions que j'ai découvert dans leurs articles. Le but de la vulgarisation est de donner une vue d'ensemble et une certaine compréhension des phénomènes. Un cours de physique quantique qui commencerait par parler des postulats puis ferait des calculs savant pour montrer qu'une particule dans une boite a un comportement ondulatoire serait tout bonnement incompréhensible. Ce n'est pas le même objectif, ce n'est pas le même public, ce n'est pas les même moyens.

[troll]J'ai déjà entendu certaines personnes dire que les maths n'étaient pas des sciences. Pas de remise en cause, pas d’expérience… Disons que c'est une science particulière.[/troll]

Concernant le problème mathématique.

Du peu que je sache de ce genre de sommation, il s'agit d'une extension pertinente de l'addition usuelle aux sommes infini. En terme simples : l'addition usuelle marche pour certaines sommes infinies (celles qui sont absolument convergentes¹). Pour les autres, tu peux obtenir le résultat que tu veux en changeant l'ordre de sommation.

Exemple : $\sum (-1)^n$, si tu sommes les termes par paire (n=i, n=i+1), tu va sommer une infinité de 0, donc obtenir 0. Si tu fait la même chose en laissant de côté le 1er terme, tu va obtenir 1. Donc il y a un problème, donc l'addition usuelle n'est pas utilisable dans le cadre des sommes infinies non convergentes. Qu'à cela ne tienne, on va créer une autre opération, dite « addition généralisée », que donne le même résultat que l'addition usuelle dans les cas usuelle et un, mais un seul, résultat dans le cas des sommes infinis. Au passage, on perd des trucs, comme la commutativité. On ne peut plus intervertir deux termes dans la somme.

À la question « À quoi ça sert », une réponse que j'aime bien est la suivante :

On ne sait pas encore, mais quand on en aura besoin, on sera bien content de l'avoir.

Historiquement, on trouve un peu toutes les situations : des trucs en apparence inutile qui trouve des applications (comme la sommation qui nous fait tant débattre), des méthodes de calculs développés pour résoudre certaines situations physiques, et des choses inutiles à l'époque de leur découverte qui resurgissement des décennies plus tard.

Le débat qui se déroule ici me rappel un vieux débat sur une émission de télé bien connu (C'est pas Sorcier). Était-ce une émission génial car elle apprenait plein de choses aux petits enfants aussi bien en science qu'en géographie à une heure de grande écoute (pour les enfants) ou bien une horreur car elle disait régulièrement des choses imprécises voir fausses ?

Personnellement, je dirai génial, mais il faut savoir aller plus loin après. Et pour ceux qui n'iront pas plus loin, c'est toujours mieux que rien, car de toute façon, il aurait été peu probable qu'ils aillent plus loin s'ils n'avaient pas vu l'émission. À ce titre, j'invite ceux qui ont vu la vidéo mais qui voudraient comprendre un peu les dessous mathématiques de la chose à aller lire l'article dont je donnais le lien en début de sujet (celui là) et à venir poser des questions sur ce qu'ils ne comprennent pas ici, ou dans un autre sujet.

H.S. : Les ragequit, c'est triste. Tout particulièrement entre quelqu'un d’intéressé et quelqu'un d'intéressant.

Édit :

Je reconnais que, concernant cette vidéo, il est à mon sens assez limite. D'une part à cause de l'affreux argument d'autorité, d'autre part car, même s'il n'est pas possible de traiter du sujet de manière rigoureuse en 10 minutes, il aurait été pertinent de dire en quoi la sommation usuelle est problématique, et pourquoi il n'est pas possible de faire ce qu'on veut, et donc expliquer pourquoi on se limite à quelques opérations « qui marchent », quitte à ne pas expliquer pourquoi celles-ci et pas d'autre marchent.

Bonjour, Je déterre un peu le sujet. Concernant Micmaths, je n'ai vu que deux vidéos dont celle dont on parle ici que je trouve très mal faite pour les raisons déjà citées (argument d'autorité, démonstration qui n'en est pas une…). La deuxième vidéo que j'ai vu, il a passé son temps à dire que $\sqrt{2}$ n'était pas un nombre mais une opération non finie qu'on utilisait car on ne savait pas écrire le nombre en décimale ou fraction. Ce que je trouve stupide également. Parce que, à ce jeu-là, une fraction on peut aussi dire que ce n'est pas un nombre. Pourtant les fractions irréductibles sont utilisées et reconnues comme nombres il me semble. Pourquoi ne peut-il pas en être de même pour les "racines irréductibles" ? Mystère. D'ailleurs $\sqrt{2}$ est pour moi, par définition, LE NOMBRE réel positif tel que mis au carré est égal à $2$. Dans les deux cas, j'ai l'impression qu'il fait du sensationnalisme plus que de la vulgarisation. L'impression que ça me donne, c'est qu'avant qu'il ne présente un sujet le public en a surement une idée fausse dont il doute, tandis qu'après (en tous cas sur les deux vidéos que j'ai vu), le public a une idée ENCORE PLUS fausse dont il doute moins. Ce n'est pas vraiment l'image (bonne) que j'ai de la vulgarisation… Enfin, ce n'était pas vraiment pour ça que je voulais participer à la discussion. Je voulais savoir pourquoi Gabbro avait dit que $\sum{(\frac{-1}n)^n}$ ne convergeait pas absolument, parce que moi j'ai l'impression que si. Surtout que ses termes, à partir du troisième, sont plus petits que ceux de $\sum{(\frac{-1}2)^n}$ qui est, elle, annoncée comme convergente absolument.

Rapidement sur ton premier point : cette vidéo a un défaut majeur, mais il n'est pas celui que tu pointes. Dire que l'équation $x^2 = 2$ n'est pas résoluble est faux au sens mathématique du terme. Et je trouve que c'est tout à fait malheureux d'utiliser un terme à la place d'un autre quand on fait des maths (mais en fait, on pourrait élargir ce principe à tous les domaines…), surtout lorsque cela risque de créer une confusion. Mais je pense que l'objectif principal de micmaths dans cette vidéo est d'expliquer qu'il n'existe pas d'écriture décimale périodique à partir d'un certain rang pour $\sqrt 2$ : on ne peut pas, en écriture décimale, donner sa valeur ; et on ne peut pas non plus le faire en s'autorisant les fractions. Je suis entièrement d'accord pour dire que le terme « résoluble » est abominablement mal choisi et c'est un défaut majeur de cette vidéo. Mais malgré tout, il faut reconnaître que le phénomène sous-jacent (en gros, $\sqrt2$ est irrationnel) est plutôt bien expliqué au néophyte.

Je remarque que très souvent, les gens qui se disent « pour la vulgarisation » ont toujours toutes sortes de reproches formuler aux gens qui la font, très souvent pour de mauvaises raisons (« c'est pas assez précis, c'est pas assez rigoureux, c'est trop simplifié »).

Concernant ton second point, je vais faire simple : tu as raison. o/

Si tu remplace $\sum{(\frac{-1}{n})^n}$ par $\sum{\frac{-1}{n}}$, ça devient vrai, et c'est très probablement ce que j'ai voulu dire à l'époque. C'est juste un erreur de copier-coller des formules mathématiques.

Donc, dis correctement, $\sum{\frac{-1}{2^n}}$ (faisons simple) est absolument convergente et convergente, mais $\sum{\frac{-1}{n}}$ est convergente mais pas absolument convergente.

Bon sang, si on commence à pointer les bêtises que j'ai dit depuis un an et demi, vous n'avez pas fini !

Oh non, je suis vraiment pour la vulgarisation mais je suis un peu raleur et je ne viens commenter que quand je suis déçu .

Enfin, c'est même la première fois que je viens critiquer une initiative pédagogique, parce que là j'ai vraiment l'impression que c'était mauvais. Quand il parle de $\sqrt{2}$ sans le présenter, j'en déduis qu'il parle à un public qui sait ce qu'est une racine. Pourquoi vouloir convaincre son auditoire que ce n'est pas un nombre ? C'est vrai que c'est bien expliqué que c'est un irrationnel, mais s'il faut faire soi-même le tri du vrai et du faux dans ses vidéos, elles perdent tout intérêt.

De même, quand il parle de ses séries divergentes (avec la sommation usuelle) et qu'il utilise des opérations interdites pour trouver un résultats bon (Et encore "bon" dans un cadre très précis qu'il a à peine cité), en utilisant sa figure de mathématicien et celles d'illustres autres pour faire passer un calcul faux, ça ne fait que mettre de l'obscurité sur les maths en les faisant un peu passer pour quelque chose de magique je trouve. Alors que non, c'est pas magique, c'est un peu complexe c'est tout. Il lui suffisait de ne montrer aucun calcul et de parler du cadre spécial dans lequel son résultat est bon. (En plus un calcul faux pour un résultat bon, il n'y a que les physiciens pour être heureux avec ça ! )

Les imprécisions et petites erreurs dans la vulgarisation ne me dérangent pas, elles sont indissociables du principe même de vulgarisation. Mais là ce ne sont pas des petites erreurs, avec ces vidéos, il me semble qu'on ressort plus ignorant qu'en entrant.

Ça te donne tout de même le mérite d'avoir des posts encore lus un an et demi après

Tldr

Pour en avoir discuté directement avec Micmaths, il m'a confié que cette vidéo sur $\sqrt{2}$ est effectivement imparfaite (et ancienne) mais elle intervenait à un moment où il voulait un style de vidéo "comme si on discutait dans un bar".

Après avoir regardé quelques autres vidéos (en particulier les dernières) c'est vraiment pas mal et j'ai l'impression de ne pas avoir eu de chance avec les deux premières que j'avais vu.

Bravo à lui quand même du coup

J'aime pas retourner le couteau dans la plaie, mais pour les anglophones parmis vous, cette vidéo est vachement bien faite et va un cran plus "haut" dans l'explication.

(… Et j'ai à peu près tout compris)