bonjour,
j’ai un doute concernant une notation utilisée dans mon cours…
Le cours : Un domaine infinitésimal est représenté par :
où le vecteur r c’est la position.
Mais dans l’égalité on a un vecteur qui est égal à un scalaire, non?
Techniquement on écrit alors que c’est et chacun des sont bien des vecteurs. Donc en fait ce que tu as est un vecteur mais d’un espace vectoriel différent (à savoir l’espace vectoriel alterné)
merci et que veut dire l’accent circonflexe entre les dx? et si dx est un vecteur, pourrais tu dire de quel espace vectoriel (ou me confirmer que c’est aussi de l’espace vectoriel alterné).
Par ailleurs l’égalité se justifie comment si à droite on a un vecteur altérné et à gauche un vecteur de R³ ? Isomorphisme de R³ et l’espace alterné?
n’est pas vraiment un élément de (qu’est-ce qu’il représenterait?)
En vérité, pour parler formellement de ces quantités, il faudrait voir , etc., comme des formes différentielles, et comme le produit extérieur de ces formes, ce produit vivant alors dans l’espace des 3-formes alternées. Cela demande un peu de travail, mais si on le fait, on n’a pas trop de peine à parler de comme on en fait dans ton cours.
d’accord merci je comprends mieux et donc, par définition, on peut dire que dr est une 3-forme alternée issue du produit extérieur des formes différentielles que sont dx, dy et dz.
pourrais tu dire de quel espace vectoriel
C’est l’espace vectoriel dual de l’espace vectoriel des dérivations.
Tout ça c’est un peu technique et pas nécessairement important à retenir dans le détail. Surtout si tu ne sais pas ce que c’est qu’un produit alterné.
Surtout si tu ne sais pas ce que c’est qu’un produit alterné.
Je n’ai jamais entendu parlé de produit alterné, et je n’ai rien trouvé là dessus avec une recherche. Je suis redirigé vers le produit extérieur (dont je n’avais jamais entendu parlé non plus). Un truc qui est pas loin un produit vectoriel. Honnêtement, je n’ai pas compris la différence…
En termes compréhensible par quelqu’un qui a eu sa licence de maths il y a 5 ans, ça donne quoi ?
Oui je crois qu’on dit "produit extérieur" en français.
En fait il y a en a un que tu connais déjà bien, c’est le déterminant. Si est une base de ton espace vectoriel, tu peux regarder son déterminant qui est un scalaire.
Plus généralement, un produit extérieur c’est en gros un produit bilinéaire anti-symétrique. C’est-à-dire .
Géométriquement, prendre une forme volume, c’est prendre linéairement un déterminant. D’où qui est le déterminant sur chaque espace tangent. Le fait que ça soit anti-symétrique te dit que si tu changes l’ordre des vecteurs et bien tu changes le signe de ton volume.
En fait il y a en a un que tu connais déjà bien, c’est le déterminant. Si est une base de ton espace vectoriel, tu peux regarder son déterminant qui est un scalaire.
Je me trompe peut être mais je crois que le déterminant se calcule sur une matrice carrée, je suis pas sûr ?
Cela revient à écrire les vecteurs en colonne et à calculer le déterminant de la matrice (qui est bien du coup n x n)
Ceci dit y a une grosse différence : ça depend pas du choix d’une base (nécessaire pour écrire une matrice). Mine de rien c’est absolument nécessaire pour faire de la géométrie, car il n’y a rien de naturel à choisir une base sur chaque espace tangent (et c’est précisément pour cette raison que c’est intéressant de s’interesser à la courbure/un transport parallèle)
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