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De l'imaginaire à la matrice

Travailler plus simplement avec les nombres complexes, en utilisant des matrices réelles

Lorsqu’on fait des mathématiques, on remarque souvent des liens entre 2 domaines de la matière. Dans ce billet nous allons voir un lien étonnant entre les nombre complexes et les matrices. Celui-ci est utile pour des langage qui ne gèrent que des matrices, par exemples.

Prérequis :

  • Connaitre les nombres complexes
  • Connaitre les matrices

Rappel sur les nombres complexes

Soit un nombre complexe z=a+ibz = a +ib, avec (a,b)∈R2(a, b) \in \mathbb{R}^2 et i2=−1i^2 =-1. On dit que aa est la partie réelle de zz et bb la partie imaginaire.

Opérations sur les complexes

Soient y=c+id∈Cy = c +id \in \mathbb{C},

y+z=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)y×z=(a+ib)×(c+id)=ac+aid+ibc+i2bd=(ac−bd)+i(ad+bc)\begin{aligned} y + z &= (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)\\ y\times z &= (a+ib)\times (c+id) = ac +aid+ ibc + i^2bd = (ac-bd) + i(ad+bc) \end{aligned}

Rappel sur les matrices

Une matrice est un objet mathématique plusieurs nombres ordonnés en lignes et colonnes. Nous nous arrêterons dans ce billet aux matrices M2M_2 possédant 2 lignes et 2 colonnes.

Soient les matrices suivantes :

A=(a1,1a1,2a2,1a2,2),B=(b1,1b1,2b2,1b2,2)A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2}\\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{pmatrix}

Opérations sur les matrices

A+B=(a1,1+b1,1a1,2+b1,2a2,1+b2,1a2,2+b2,2)A×B=(a1,1b1,1+a1,2b2,1a1,1b1,2+a1,2b2,2a2,1b1,1+a2,2b2,1a2,1b1,2+a2,2b2,2)\begin{aligned} A + B = & \begin{pmatrix} a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2}\\ a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \end{pmatrix}\\ A \times B = & \begin{pmatrix} a_{1,1}b_{1,1} + a_{1,2}b_{2,1} & a_{1,1}b_{1,2} + a_{1,2}b_{2,2} \\ a_{2,1}b_{1,1} + a_{2,2}b_{2,1} & a_{2,1}b_{1,2} + a_{2,2}b_{2,2} \end{pmatrix} \end{aligned}

On remarque qu’en général avec les matrices A×B=B×AA\times B \not= B \times A

Transfomer le complexe en matrice

L’astuce présentée ici, est assez simple.

Si on écrit un nombre complexe a+iba +ib tel la matrice (a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} on retrouve les bonnes propriétés des complexes.

Ainsi :

(a+ib)+(c+id)⇒(a−bba)+(c−ddc)=(a+c−(b+d)b+da+c)⇐(a+c)+i(b+d)(a+ib)×(c+id)⇒(a−bba)×(c−ddc)=(ac−bd−(ad+bc)bc+ad−bd+ac)⇐(ac−bd)+i(ad+bc)\begin{aligned} (a + ib) + (c + id) & \Rightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix} & \Leftarrow & (a+c) + i(b+d) \\ (a + ib) \times (c + id) & \Rightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad + bc) \\ bc + ad & -bd + ac \end{pmatrix} & \Leftarrow & (ac-bd) + i(ad +bc) \end{aligned}

On remarquera aussi que le déterminant de la matrice vaut le carré du module du complexe.

On a donc vu qu’un nombre complexe pouvait s’écrire comme une matrice particulère afin d’utiliser des complexes dans des langages qui ne gèrent que des matrices.

10 commentaires

Ow, un article sur des rotations ! :D

C’est une chtite blague. sachant que les nombres complexes et leurs matrices peuvent être vus comme des rotations :p ce qui permet de rendre la correspondance assez immédiate quand on connaît les deux :p

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