Les angles et leur mesure

Exemples introductifs

Essayons de dégager une certaine intuition de ce qu’est un angle (ou un « coin ») à partir du langage courant.

Par exemple, quand on dit que quelque chose est « au coin de la rue » ou « à l’angle de telle et telle rue », on indique la zone entre deux rues qui se rejoignent (« le café au coin de la rue »). Similairement, « être dans l’angle d’une pièce » c’est se situer dans la zone où les deux murs se rejoignent.

Dans le langage courant, un « angle » est donc grossièrement l’espace qui se trouve à la jonction entre deux choses allongées.

Angle

Mathématiquement, un angle est l’espace entre deux côtés qui se rejoignent en un sommet. Le sommet est un point, et les côtés sont des demi-droites (ou segments) qui partent de ce sommet. On schématise cela comme dans la figure ci-dessous.

En vérité, on a ici deux angles entre les deux côtés :

• l’angle intérieur, le plus petit, directement entre les deux côtés ;
• l’angle extérieur, le plus grand, faisant le tour par l’extérieur.

On s’intéresse le plus souvent à l’angle intérieur, mais pour éviter les ambigüités, on indique l’angle considéré en y dessinant un petit arc de cercle et en écrivant son nom à côté. Il n’y a alors plus besoin de préciser intérieur ou extérieur.

L’usage est de nommer les angles avec une seule lettre, souvent une lettre grecque. Les plus utilisées sont les suivantes :

• $\alpha$ : « alpha » ;
• $\beta$ : « bêta » ;
• $\gamma$ : « gamma » ;
• $\delta$ : « delta » ;
• $\theta$ : « thêta ».

Angle orienté

En trigonométrie, on a besoin de distinguer les deux côtés de l’angle en choisissant un côté qui sera le premier côté, l’autre étant le deuxième. On dit alors qu’on a affaire à des angles orientés.

Pour montrer cette orientation, on ajoute une petite flèche sur l’arc. Le petit arc de cercle qui désigne l’angle est alors une flèche qui part du premier côté pour arriver sur le deuxième côté.

Ainsi, on peut avoir deux angles orientés qui utilisent les mêmes côtés et le même sommet. À part leur orientation, rien ne les distingue. On dit que ces deux angles sont des angles opposés.

En examinant, les petits arcs de cercle désignant les angles orientés, on voit qu’il tournent autour du sommet soit dans un sens soit dans l’autre. Les mathématiciens ont donné des noms aux deux sens de rotation différents possibles :

• le sens positif (parfois « sens trigonométrique ») désigne le sens inverse des aiguilles d’une montre ;
• le sens négatif (parfois « sens antitrigonométrique ») désigne le sens des aiguilles d’un montre.

Si vous n’avez pas de montre à aiguilles, le schéma ci-dessous devrait vous aider à visualiser les différents sens.

Sur le schéma précédent, $\alpha$ est orienté dans le sens positif et $\beta$ dans le sens négatif.

Degrés

Très souvent, on mesure les angles en degrés. Un degré correspond à un 360^e de tour. Autrement dit, quand on prend un cercle quelconque, et qu’on le découpe en 360 parts égales, chaque part correspond à un degré.

Mesurer un angle en degrés, cela revient à prendre un cercle quelconque centré sur le sommet de l’angle, le découper en 360 parts égales et mesurer la distance en degrés entre les deux côtés le long du cercle, c’est-à-dire le long de l’arc de cercle.

C’est exactement ce qu’on fait lors qu’on mesure un angle avec un rapporteur. Le rapporteur est en fait un cercle séparé en 360 graduations (ou un demi cercle séparé en 180 graduations). On le place centré sur le sommet, on aligne le zéro avec l’un des côtés et et on lit sur l’autre côté la mesure de l’angle.

Pour avoir une mesure d’un angle orienté, il faut aussi prendre en compte l’orientation. C’est simple, si on mesure X° avec un rapporteur, un angle dans le sens positif aura pour mesure +X°, et -X° dans le sens négatif.

Avec les angles $\alpha$ et $\beta$ de la figure de la section précédente, on aurait $\alpha = 35°$ (car orienté positivement) et $\beta = -35°$ (car orienté négativement).

Souvent, quand on écrit une mesure sur un schéma, on n’indique pas le signe avec la mesure ; c’est la flèche qui le donne, comme montré dans la figure ci-dessous.

Des degrés au radians

Avec les degrés, on a choisi de découper le cercle en 360 degrés. On peut tout à fait choisir un autre découpage ; c’est le principe derrière les radians.

L’idée des radians est de dire qu’un tour complet correspond à $2 \pi$ (le fameux $\pi$ qui vaut environ 3,14). Ce choix est plus simple quand on fait des mathématiques, car il simplifie les formules. Dans notre cas, il n’y aura pas vraiment de simplification, mais il faudra faire attention à ne pas se tromper d’unité entre radians et degrés.

Le choix de $2\pi$ est justifié par le fait qu’il s’agisse du périmètre d’un cercle de rayon 1 ; les radians mesurent ainsi des longueurs d’arc sur le cercle de rayon 1.

Les radians fonctionnent en pratique exactement comme les degrés. Par exemple, un angle droit correspond à un quart de tour, soit 360°/4, autrement dit 90°. En radians, c’est toujours un quart de tour, c’est-à-dire $2 \pi /4 = \pi /2$.

Les deux unités sont proportionnelles, ce qui permet des conversions faciles. Dans les deux formules ci-dessous, $\alpha_d$ désigne un angle en degrés et $\alpha_r$ un angle en radians.

$\alpha_d = \alpha_r \times \frac{360°}{2 \pi}$

$\alpha_r = \alpha_d \times \frac{2 \pi}{360°}$

Le symbole pour noter les radians est $\mathrm{rad}$, mais souvent on ne l’écrit pas. Si vous voyez une mesure d’angle sans unité, surtout avec des $\pi$ qui traînent dedans, il s’agit avec quasi-certitude de radians. Vous remarquerez que j’ai déjà omis l’unité dans les paragraphes précédents.

Avec les radians, la mesure de l’angle a aussi un signe pour indiquer l’orientation : dans le sens positif, on aura +X rad, et dans le sens négatif, on aura -X rad.