La loi de l'attraction universelle de Newton

À l’époque de Newton, la gravité était quelque chose d’associé à la Terre seule. L’expérience quotidienne nous montre que la Terre exerce une force gravitationnelle sur les objets à sa surface. Si vous laissez tomber quelque chose, il accélère vers la Terre en tombant. L’idée de Newton était que la gravité de la Terre pouvait s’étendre jusqu’à la Lune et produire la force nécessaire pour courber la trajectoire de la Lune à partir d’une ligne droite et la maintenir sur son orbite. Il a en outre émis l’hypothèse que la gravité ne se limite pas à la Terre, mais qu’il existe une force générale d’attraction entre tous les corps matériels. Si tel est le cas, la force d’attraction entre le Soleil et chacune des planètes pourrait les maintenir sur leurs orbites. (Cela peut sembler faire partie de notre pensée quotidienne aujourd’hui, mais c’était un aperçu remarquable à l’époque de Newton.)

Une fois que Newton a hardiment émis l’hypothèse qu’il y avait une attraction universelle entre tous les corps partout dans l’espace, il a dû déterminer la nature exacte de l’attraction. La description mathématique précise de cette force gravitationnelle devait dicter que les planètes se déplacent exactement comme Kepler les avait décrites (comme exprimé dans les trois lois de Kepler). De plus, cette force gravitationnelle devait prédire le comportement correct des chutes de corps sur Terre, comme l’a observé Galilée. Comment la force de gravité doit-elle dépendre de la distance pour que ces conditions soient remplies ?

La réponse à cette question nécessitait des outils mathématiques qui n’avaient pas encore été développés, mais cela n’a pas découragé Isaac Newton, qui a inventé ce que nous appelons aujourd’hui le calcul différentiel pour traiter ce problème. Finalement, il a pu conclure que l’ampleur de la force de gravité doit diminuer avec l’augmentation de la distance entre le Soleil et une planète (ou entre deux objets) proportionnellement à l’inverse du carré de leur séparation. En d’autres termes, si une planète était deux fois plus éloignée du Soleil, la force serait (1/2)², soit 1/4 moins importante. Mettez la planète trois fois plus loin, et la force est (1/3)², soit 1/9 seulement.

Newton a également conclu que l’attraction gravitationnelle entre deux corps doit être proportionnelle à leurs masses. Plus un objet a de masse, plus l’attraction de sa force gravitationnelle est forte. L’attraction gravitationnelle entre deux objets quelconques est donc donnée par l’une des équations les plus célèbres de toute la science :

où $F_{gravité}$ est la force gravitationnelle entre deux objets, $M_1$ et $M_2$ sont les masses des deux objets et $R$ est leur distance. $G$ est un nombre constant connu sous le nom de constante gravitationnelle universelle, et l’équation elle-même résume symboliquement la loi universelle de la gravitation de Newton. Avec une telle force et les lois du mouvement, Newton a pu montrer mathématiquement que les seules orbites autorisées étaient exactement celles décrites par les lois de Kepler.

La loi universelle de la gravitation de Newton fonctionne pour les planètes, mais est-elle vraiment universelle ? La théorie gravitationnelle devrait également prédire l’accélération observée de la Lune vers la Terre alors qu’elle orbite autour de la Terre, ainsi que de tout objet (par exemple, une pomme) tombé près de la surface de la Terre. La chute d’une pomme est quelque chose que nous pouvons mesurer assez facilement, mais pouvons-nous l’utiliser pour prédire les mouvements de la Lune ?

Rappelons que selon la deuxième loi de Newton, les forces provoquent une accélération. La loi universelle de la gravitation de Newton dit que la force agissant sur (et donc l’accélération de) un objet vers la Terre doit être inversement proportionnelle au carré de sa distance par rapport au centre de la Terre. On observe que des objets comme des pommes à la surface de la Terre, à une distance d’un rayon terrestre du centre de la Terre, accélèrent vers le bas à 9,8 mètres par seconde par seconde (9,8 m/s²).

C’est cette force de gravité à la surface de la Terre qui nous donne notre sens du poids. Contrairement à votre masse, qui resterait la même sur n’importe quelle planète ou lune, votre poids dépend de la force de gravité locale. Vous pèseriez donc moins sur Mars et la Lune que sur Terre, même s’il n’y a pas de changement dans votre masse. (Ce qui veut dire qu’il faudrait quand même y aller doucement avec les desserts à la cafétéria de la fac à votre retour !)

La Lune est à 60 rayons terrestres du centre de la Terre. Si la gravité (et l’accélération qu’elle provoque) s’affaiblit avec la distance au carré, l’accélération subie par la Lune devrait être bien inférieure à celle de la pomme. L’accélération doit être de (1/60)² = 1/3600 (ou 3600 fois moins—environ 0,00272 m/s²). C’est précisément l’accélération observée de la Lune sur son orbite. (Comme nous le verrons, la Lune ne tombe pas sur Terre avec cette accélération, mais tombe autour de la Terre.) Imaginez le frisson que Newton a dû ressentir pour réaliser qu’il avait découvert et vérifié une loi qui s’applique à la Terre, aux pommes, à la Lune et, autant qu’il le savait, à tout dans l’univers.

La gravité est une propriété « intégrée » de la masse. Chaque fois qu’il y a des masses dans l’univers, elles interagiront via la force d’attraction gravitationnelle. Plus il y a de masse, plus la force d’attraction est grande. Ici sur Terre, la plus grande concentration de masse est, bien sûr, la planète sur laquelle nous nous tenons, et son attraction domine les interactions gravitationnelles que nous vivons. Mais tout ce qui a une masse attire tout le reste avec une masse partout dans l’univers.

La loi de Newton implique également que la gravité ne devient jamais nulle. Elle s’affaiblit rapidement avec la distance, mais il continue d’agir dans une certaine mesure, quelle que soit la distance à laquelle vous vous trouvez. L’attraction du Soleil est plus forte à Mercure qu’à Pluton, mais elle peut être ressentie bien au-delà de Pluton, où les astronomes ont de bonnes preuves qu’elle fait continuellement bouger un nombre énorme de corps glacés plus petits autour d’énormes orbites. Et l’attraction gravitationnelle du Soleil se joint à l’attraction de milliards d’autres étoiles pour créer l’attraction gravitationnelle de notre Voie lactée. Cette force, à son tour, peut faire orbiter d’autres galaxies plus petites autour de la Voie lactée, et ainsi de suite.

Pourquoi alors, demandez vous peut-être, pourquoi les astronautes à bord de la navette spatiale semblent n’avoir aucune force gravitationnelle agissant sur eux lorsque nous voyons à la télévision des images des astronautes et des objets flottant dans le vaisseau spatial ? Après tout, les astronautes de la navette ne sont qu’à quelques centaines de kilomètres au-dessus de la surface de la Terre, ce qui n’est pas une distance significative par rapport à la taille de la Terre, donc la gravité n’est certainement pas beaucoup plus faible à beaucoup plus loin. Les astronautes se sentent « en apesanteur » (c’est-à-dire qu’ils ne sentent pas la force gravitationnelle agissant sur eux) pour la même raison que les passagers d’un ascenseur dont le câble est rompu ou d’un avion dont les moteurs ne fonctionnent plus se sentent en apesanteur : ils tombent ( Illustration 3.9).

En tombant, ils sont en chute libre et accélèrent au même rythme que tout ce qui les entoure, y compris leur vaisseau spatial ou un appareil photo avec lequel ils prennent des photos de la Terre. Ce faisant, les astronautes ne ressentent aucune force supplémentaire et se sentent donc « en apesanteur ». Contrairement aux passagers de l’ascenseur qui tombent, cependant, les astronautes tombent autour de la Terre, pas sur Terre ; par conséquent, ils continueront de tomber et sont dits "en orbite" autour de la Terre (voir la section suivante pour en savoir plus sur les orbites).

Les lois de Kepler décrivent les orbites des objets dont les mouvements sont décrits par les lois du mouvement de Newton et la loi de la gravité. Sachant que la gravité est la force qui attire les planètes vers le Soleil, Newton a cependant permis de repenser la troisième loi de Kepler. Rappelons que Kepler avait trouvé une relation entre la période orbitale de révolution d’une planète et sa distance au Soleil. Mais la formulation de Newton introduit le facteur supplémentaire des masses du Soleil (M1) et de la planète (M2), toutes deux exprimées en unités de masse du Soleil. La loi universelle de la gravitation de Newton peut être utilisée pour montrer mathématiquement que cette relation est en fait

où $a$ est le demi-grand axe et $P$ est la période orbitale.

Comment Kepler a-t-il manqué ce facteur ? En unités de masse du Soleil, la masse du Soleil est de 1, et en unités de masse du Soleil, la masse d’une planète typique est un facteur négligeable. Cela signifie que la somme de la masse du Soleil et de la masse d’une planète, (M1 + M2), est très, très proche de 1. Cela fait que la formule de Newton semble presque la même que celle de Kepler ; la masse minuscule des planètes par rapport au Soleil est la raison pour laquelle Kepler ne s’est pas rendu compte que les deux masses devaient être incluses dans le calcul. Cependant, il existe de nombreuses situations en astronomie dans lesquelles nous devons inclure les deux termes de masse, par exemple lorsque deux étoiles ou deux galaxies tournent l’une autour de l’autre.

Réponse

Encore une fois, nous pouvons négliger la masse de la planète. Donc $M_1 = 2$ et $P$ = 4 ans.
La formule est $a^3 = M_1 \times P^2$, donc $a^3 = 2 \times {4^2} = 2 \times 16 = 32$.
Donc $a$ est la racine cubique de 32. Pour trouver cela, vous pouvez simplement demander à Google : « Quelle est la racine cubique de 32 ? ” et obtenez la réponse 3,2 AU.