Annexes

En astronomie (et dans d’autres sciences), il est souvent nécessaire de traiter de très grands ou de très petits nombres. En fait, lorsque des nombres deviennent vraiment importants dans la vie de tous les jours, comme la dette nationale des États-Unis, nous les qualifions d’astronomiques. Parmi les idées auxquelles les astronomes sont régulièrement confrontés, citons le fait que la Terre se trouve à 150 000 000 000 mètres du Soleil et que la masse de l’atome d’hydrogène est de 0,0000000000000000000000167 kilogramme. Aucune personne saine d’esprit ne voudrait continuer à écrire autant de zéros !

Au lieu de cela, les scientifiques se sont mis d’accord sur une sorte de notation abrégée, qui est non seulement plus facile à écrire, mais qui (comme nous le verrons) rend la multiplication et la division des grands et des petits nombres beaucoup moins difficiles. Si vous n’avez jamais utilisé cette notation des puissances de dix ou la notation scientifique, il vous faudra peut-être un peu de temps pour vous y habituer, mais vous la trouverez bientôt beaucoup plus facile que de garder la trace de tous ces zéros.

Écrire des grands nombres

En notation scientifique, on s’accorde généralement à n’avoir qu’un seul chiffre à gauche de la virgule. Si un nombre n’est pas dans ce format, il doit être modifié. Le nombre 6 est déjà dans le bon format, car pour les nombres entiers, nous comprenons qu’il y a une virgule décimale à leur droite. Ainsi, 6 est en réalité 6,0 et il n’y a en effet qu’un seul nombre à gauche de la virgule. Mais le nombre 965 (qui est 965,) a trois chiffres à gauche de la virgule, et est donc prêt à être converti.

Pour transformer 965 en forme correcte, nous devons le transformer en 9,65 et garder la trace du changement que nous avons effectué. (Considérez ce nombre comme un salaire hebdomadaire et vous verrez qu’il y a une grande différence entre 965 € et 9,65 €). Nous gardons une trace du nombre de places que nous avons déplacé la virgule en l’exprimant sous la forme d’une puissance de dix. Ainsi, 965 devient 9,65 × 10² ou 9,65 multiplié par dix à la deuxième puissance. Le petit 2 en hauteur est appelé exposant et nous indique combien de fois nous avons déplacé la virgule vers la gauche.

Notez que 10² désigne également 10 au carré, ou 10 × 10, ce qui équivaut à 100. Et 9,65 × 100 est tout simplement 965, le nombre avec lequel nous avons commencé. Une autre façon de voir la notation scientifique est de séparer les nombres désordonnés et de laisser les unités de dix lisses à l’exposant. Ainsi, un nombre comme 1 372 568 devient 1,372568 fois un million (10⁶) ou 1,372568 fois 10 multiplié par lui-même 6 fois. Nous avons dû déplacer la virgule de six places vers la gauche (à partir de sa place après le 8) pour que le nombre prenne la forme où il n’y a qu’un seul chiffre à gauche de la virgule.

La raison pour laquelle nous appelons cela la notation des puissances de dix est que notre système de comptage est basé sur des augmentations par dix fois ; chaque place dans notre système de numération est dix fois plus grande que la place située à sa droite. Comme vous l’avez probablement appris, cela a commencé parce que les êtres humains ont dix doigts et que nous avons commencé à compter avec eux. (Il est intéressant de spéculer que si nous rencontrons un jour des formes de vie intelligentes qui n’ont que huit doigts, leur système de comptage sera probablement une notation en puissances de huit !)

Ainsi, dans l’exemple que nous avons commencé, le nombre de mètres entre la Terre et le Soleil est de 1,5 × 10¹¹. Ailleurs dans le livre, nous mentionnons qu’une corde d’une année-lumière de long ferait 236 millions ou 236 000 000 de fois le tour de l’équateur de la Terre. En notation scientifique, cela donne 2,36 × 10⁸. Si vous aimez exprimer les choses en millions, comme le font les rapports annuels des entreprises prospères, vous pouvez écrire ce nombre 236 × 10⁶. Cependant, la convention habituelle est de n’avoir qu’un seul chiffre à gauche de la virgule.

Écrire des petits nombres

Prenons maintenant un nombre comme 0,00347, qui n’est pas non plus dans la forme standard (convenue) de la notation scientifique. Pour le mettre dans ce format, nous devons en transformer la première partie en 3,47 en déplaçant la virgule de trois places vers la droite. Notez que ce déplacement vers la droite est l’opposé du déplacement vers la gauche dont nous avons parlé plus haut. Pour garder une trace, nous appelons ce changement négatif et mettons un signe moins dans l’exposant. Ainsi, 0,00347 devient 3,47 × 10^-3.

Dans l’exemple que nous avons donné au début, la masse de l’atome d’hydrogène s’écrirait alors 1,67 × 10^-27 kg. Dans ce système, un s’écrit 10⁰, un dixième 10^-1, un centième 10^-2, etc. Il est à noter que tout nombre, qu’il soit grand ou petit, peut être exprimé en notation scientifique.

La multiplication et la division

La notation scientifique n’est pas seulement compacte et pratique, elle simplifie également l’arithmétique. Pour multiplier deux nombres exprimés en puissances de dix, il suffit de multiplier les nombres à l’avant, puis d’ajouter les exposants. S’il n’y a pas de nombres devant, comme dans 100 × 100 000, il suffit d’ajouter les exposants (dans notre notation, 10² × 10⁵ = 10⁷). Lorsqu’il y a des nombres devant, vous devez les multiplier, mais ils sont beaucoup plus faciles à traiter que les nombres comportant de nombreux zéros.

Voici un exemple :

Et en voici un autre :

Notez que dans le deuxième exemple, lorsque nous avons additionné les exposants, nous avons traité les exposants négatifs comme nous le faisons en arithmétique normale (-2 plus 6 égalent 4). Remarquez également que notre premier résultat contenait un 24, qui n’était pas dans la forme acceptable, ayant deux places à gauche de la virgule, et que nous l’avons donc remplacé par 2,4 et avons modifié l’exposant en conséquence.

Pour diviser, on divise les nombres avant et on soustrait les exposants. Voici quelques exemples :

$\frac{1.000.000}{1000}=\frac{10^6}{10^3}=10^{(6-3)}=10^3$

$\frac{9× 10^{12}}{2× 10^3}=4,5 × 10^9$

$\frac{2,8× 10^2}{6,2× 10^5}=0,452 × 10^{-3}=4,52 ×10^{-4}$

Dans le dernier exemple, notre premier résultat n’était pas sous la forme standard, nous avons donc dû changer 0,452 en 4,52 et changer l’exposant en conséquence.

Si c’est la première fois que vous rencontrez la notation scientifique, nous vous invitons à pratiquer de nombreux exemples en l’utilisant. Vous pouvez commencer par résoudre les exercices ci-dessous. Comme toute nouvelle langue, la notation semble compliquée au début mais devient plus facile à mesure que vous la pratiquez.

1. Fin septembre 2015, la sonde spatiale New Horizons (qui a rencontré Pluton pour la première fois en juillet 2015) se trouvait à 4,898 milliards de km de la Terre. Convertissez ce nombre en notation scientifique. Combien d’unités astronomiques cela représente-t-il ? (Une unité astronomique est la distance de la Terre au Soleil, soit environ 150 millions de km.)

   Réponse

   4,898 milliards correspond à 4,898 × 10⁹ km. Une unité astronomique (UA) est de 150 millions de km = 1,5 × 10⁸ km. En divisant le premier nombre par le second, on obtient 3,27 × 10^(9–8)= 3,27 × 10¹ UA.

2. Au cours des six premières années de son fonctionnement, le télescope spatial Hubble a fait 37 000 fois le tour de la Terre, pour un total de 1 280 000 000 km. Utilisez la notation scientifique pour trouver le nombre de km sur une orbite.

   Réponse

   $\frac{1.28×10^9km}{3.7×10^4orbits}=0.346×10^{(9−4)}=0.346×10^5=3.46×104km\ per\ orbit$

3. Dans une grande cafétéria universitaire, un burger soja-légumes est proposé comme alternative aux hamburgers ordinaires. Si 889 875 burgers ont été consommés au cours d’une année scolaire, et que 997 d’entre eux étaient des veggie-burgers, quelle fraction et quel pourcentage des burgers cela représente-t-il ?

   Réponse

   $\frac{9.97×10^2veggie-burger}{8.90×10^5total\ burgers}=1,126×10^{(2-5)}=1.12×10^{−3}$ (soit environ un millième environ) des hamburgers étaient végétariens. % signifie pour cent. Donc : $\frac{1.12×10{−3}}{10{−2}}=1,112×10^{((−3−(−2))}=1,12×10^{−1}\%$

4. Dans un sondage Kelton Research de 2012, 36 % des adultes américains pensaient que des extraterrestres avaient effectivement atterri sur Terre. Le nombre d’adultes aux États-Unis en 2012 était d’environ 222 000 000. Utilisez la notation scientifique pour déterminer combien d’adultes pensent que des extraterrestres ont visité la Terre.

   Réponse

   36 % correspond à 36 centièmes ou 0,36 ou 3,6 × 10⁻¹. Multipliez cela par 2,22 × 10⁸ et vous obtenez environ 7,99 × 10^{(−1 + 8)} = 7,99 × 10⁷ soit près de 80 millions de personnes qui croient que des extraterrestres ont atterri sur notre planète. Nous avons besoin de plus de cours d’astronomie pour éduquer tous ces gens.

5. Au cours de l’année scolaire 2009–2010, les collèges et universités américains ont décerné 2 354 678 diplômes. Parmi ceux-ci figuraient 48 069 doctorats. Quelle fraction des diplômes étaient des doctorats ? Exprimez ce nombre en pourcentage. (Maintenant, allez trouver un emploi pour tous ces docteurs !)

   Réponse

   $\frac{4,81×10^4}{2.35×10^6}=2,05×10^{4-6}=2,05×10^{−2}=\ environ\ 2\%$
   (Notez que dans ces exemples, nous arrondissons certains nombres afin de ne pas avoir plus de 2 décimales après la virgule.)

6. On a découvert qu’une étoile à 60 années-lumière avait une grande planète en orbite autour d’elle. Votre oncle veut connaître la distance jusqu’à cette planète en miles à l’ancienne. Supposons que la lumière parcourt 300 000 kilomètres par seconde et qu’il y a 60 secondes dans une minute, 60 minutes dans une heure, 24 heures dans une journée et 365 jours dans une année. À combien de kilomètres se trouve cette étoile ?

   Réponse

   Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. Si la lumière parcourt 300 000 kilomètres par seconde, alors elle parcourra 60 fois plus en une minute, 60 fois en une heure, 24 fois en un jour et 365 fois en un an. Nous avons donc 3 × 10⁵ × 6,0 × 10¹ × 6,0 × 10¹ × 2,4 × 10¹ × 3,65 × 10². Nous multiplions donc tous les nombres à l’avant et additionnons tous les exposants. Nous obtenons 94 608 × 10¹⁰ = 9,4608 × 10¹² kilomètres en une année-lumière (ce qui équivaut à un sacré nombre de kilomètres !). Donc, si l’étoile est à 60 années-lumière, sa distance est de 6 × 10¹ × 9,4608 × 10¹² = 56,67 × 10¹³ = 5,667 × 10¹⁴ kilomètres.

Remarque : Au moment où ce livre est sous presse, près de deux cents lunes sont maintenant connues dans le système solaire et d’autres sont découvertes régulièrement. Parmi les principales planètes, seules Mercure et Vénus n’ont pas de lunes. En plus des lunes des planètes, il existe de nombreuses lunes d’astéroïdes. Dans cette annexe, nous listons uniquement les objets les plus grands et les plus intéressants qui orbitent autour de chaque planète (y compris les planètes naines). Le nombre donné pour chaque planète correspond aux découvertes jusqu’en 2015. Pour plus d’informations, voir sur Wikipedia Satellites naturels du Système solaire.

Nota : les corps marqués (R) ont une rotation rétrograde (inverse de la direction dans laquelle la plupart des objets du système solaire tournent et tournent).