Des théorèmes personnalisés en LaTeX

Lorsque nous écrivons un document avec LaTeX, il peut arriver que nous ayons besoin de définir des théorèmes, lemmes, définitions, etc. Pour cela, LaTeX dispose de la commande \newtheorem. Ainsi, nous pouvons définir un environnement definition associé au mot « Définition » avec \newtheorem{definition}{Définition}. On peut ensuite utiliser cet environnement pour écrire des définitions.

Cependant, cette méthode n’est pas très personnalisable et tous les environnements définis de cette manière se ressemblent alors que nous préférerions peut-être avoir quelque chose d’un peu plus fou. Heureusement, plusieurs packages viennent combler ce manque. Dans ce tutoriel, nous allons voir comment utiliser le package ntheorem pour obtenir quelque chose de personnalisé.

• Introduction au package ntheorem
• Création d’environnements
• Personnalisation des théorèmes

Introduction au package ntheorem

Utilisation basique de ntheorem

Pour commencer, il nous faut inclure le package ntheorem. Nous ajoutons juste la ligne suivante a notre préambule.

\usepackage{ntheorem}

Des environnements prédéfinis

Maintenant, nous pouvons nous lancer dans l’aventure. Pour commencer, il nous faut savoir que le package ntheorem a quelques environnements prédéfinis. Pour les utiliser, il nous faut charger ntheorem avec l’option standard sans quoi nous obtiendrons des erreurs comme « LaTeX Error: Environment Proposition undefined ». Lorsque nous utilisons l’option standard nous avons accès à plusieurs types d’environnements.

• Des environnements de théorèmes : Theorem, Lemma, Proposition, Corollary, Satz et Korollar.
• Des environnements de preuves : Proof et Beweis.
• Des environnements de définitions : Example et Beispiel.
• Des environnements de remarques : Anmerkung, Bemerkung et Remark.

Utilisons Proposition par exemple.

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[standard]{ntheorem}

\begin{document}
Voici une proposition.
\begin{Proposition}
   Voici une belle proposition.
\end{Proposition}
\end{document}

Les bases

Le résultat est ultra-basique. On a en gras le nom associé à l’environnement (ici « Proposition ») et son numéro. Le numéro est calculé automatiquement par LaTeX grâce aux compteurs. La proposition en elle-même est en italique. Chaque environnement a son compteur et son style d’affichage. Observons par exemple le résultat produit par le code suivant.

\begin{Proposition}
   Voici notre première proposition.
\end{Proposition}
\begin{Definition}
   Voici une belle définition.
\end{Definition}
\begin{Proposition}
   Notre deuxième proposition.
\end{Proposition}
\begin{Definition}
   Notre deuxième définition.
\end{Definition}

On observe bien que chaque environnement a son propre compteur. De plus, alors que le texte de la proposition est en italique, celui de la définition ne l’est pas.

Ces environnements prennent un texte en argument facultatif. Ce texte est affiché entre parenthèses après le numéro du théorème. Nous pouvons ainsi donner un nom à une proposition ou indiquer qu’elle est importante.

\begin{Proposition}[ZdS]
   La proposition ZdS.
\end{Proposition}
\begin{Proposition}[Important]
   Cette proposition est importante.
\end{Proposition}

Le package amsthm

Le package amsthm fournit également des outils pour faire des théorèmes. Il est en conflit avec le package ntheorem. Si nous voulons quand même utiliser certaines fonctionnalités de amsthm, il est possible de les faire cohabiter. Pour cela, il faut inclure ntheorem avec l’option amsthm au lieu de charger amsthm. Dans ce cas, nous ne pouvons pas utiliser l’option standard qui est en conflit avec l’option amsthm car elles définissent toutes les deux un environnement Proof. Notons qu’il est conseillé d’utiliser ntheorem sans chercher à y mettre des fonctionnalités de amsthm. En effet, ntheorem est plus complet, mais semble également être plus intuitif à utiliser.

Référence à un théorème

Le package ntheorem complète le système de références de LaTeX. Pour avoir accès à ce système, il nous faut le charger avec l’option thref. Cette option rajoute à un argument facultatif à la commande \label et nous donne la commande \thref pour faire références aux étiquettes. On peut alors écrire ce code.

\section{Section 1}\label{sec:premier}[Section]
On fait référence à la \thref{sec:premier}.

L’argument facultatif de \label correspond au texte qui est affiché avant le numéro de l’objet étiqueté. Ainsi, ici, nous avons étiqueté une section avec l’argument facultatif Section. Le texte qui sera affiché est alors « On fait référence à la Section 1 ».

On peut alors utiliser ce système pour étiqueter nos propositions.

\begin{Definition}[Zeste de Savoir]\label{def:zds}[Definition]
   Zeste de Savoir est une association dont le but est de promouvoir le partage de connaissances
   à travers des ressources pédagogiques gratuites et de préférence sous licence libre.
\end{Definition}
Zeste de Savoir a été défini en tant que \thref{def:zds}.

Et on a encore mieux : lorsque l’on fait une étiquette pour un environnement défini avec ntheorem, le paramètre facultatif vaut automatiquement le nom associé à l’environnement. Ceci veut dire qu’on est obligé de le mettre seulement dans le cas où l’on ne veut pas ce nom. Ainsi le code qui suit produit le même résultat que celui que nous avons précédemment écrit.

\begin{Definition}[Zeste de Savoir]\label{def:zds}
   Zeste de Savoir est une association dont le but est de promouvoir le partage de connaissances
   à travers des ressources pédagogiques gratuites et de préférence sous licence libre.
\end{Definition}
Zeste de Savoir a été défini en tant que \thref{def:zds}.

Le code qui suit produira alors l’avertissement « LaTeX Warning: There were undefined references ».

\section{Section 1}\label{sec:premier}
On fait référence à la \thref{sec:premier}.

Avec ce code on obtient alors « On fait référence à la 1 ». \thref ne sait pas quel mot afficher et n’en affiche donc pas.

La commande \ref reste utile. Déjà dans le cas où nous ne voulons pas avoir de mot d’affiché. Nous pourrions utiliser \thref avec un argument facultatif vide, mais c’est quand même plus simple d’utiliser \ref. De même, \ref est utile si nous voulons obtenir quelque chose comme « Les propositions 1 et 3 ».

Conflits possibles

Lorsque nous chargeons ntheorem avec l’option thref, il peut y avoir des conflits avec plusieurs packages.

L’un de ces conflits est avec le package amsmath. Pour le résoudre, il nous faudra charger ntheorem après amsmath et avec l’option amsmath. Cela signifie également que les packages qui chargent automatiquement amsmath doivent être chargés avant ntheorem. Ainsi, les packages mathtools ou empheq doivent être chargés avant ntheorem.

Il peut aussi interférer avec babel. Pour régler ce conflit, il suffira de charger babel avant ntheorem. De même, pour utiliser hyperref, il faut charger ntheorem avec l’option hyperref et après avoir chargé hyperref.

Lister les théorèmes

Avec le package ntheorem, on peut même faire une liste des théorèmes. Cette action repose sur la commande \listtheorems. Elle prend en paramètre le type à lister. Par exemple, pour lister les propositions, nous allons utiliser cette commande.

\listtheorems{Proposition}

On peut alors voir toutes les propositions du document dans leur ordre d’apparition. L’affichage est formaté de la manière suivante. Chaque ligne correspond à une proposition. On a d’abord le numéro de la proposition, puis son nom (s’il y en a un) suivi d’une suite de points. La ligne se termine par la page de la proposition. Notons que les données sont parfaitement alignées.

Nous pouvons choisir d’afficher plusieurs types de théorèmes. Pour cela, il faut passer à \listtheorems tous les types de théorèmes dont on veut la liste, séparés par une virgule. Ainsi, nous pouvons lister les propositions et les définitions.

\listtheorems{Proposition,Definition}

On obtient alors la liste des propositions et des définitions toujours dans l’ordre d’apparition. Pour obtenir la liste des propositions et la liste des définitions, il nous faudra utiliser deux fois \listtheorems.

\listtheorems{Definition}
\listtheorems{Proposition}

Notons que nous pouvons ajouter une ligne à la fin de la liste des théorèmes avec la commande \addtotheoremfile. Elle prend en paramètre obligatoire le texte à ajouter à la fin des listes et en paramètre facultatif le type de théorème pour lequel on veut ajouter cette ligne. Si on ne lui donne pas de paramètre facultatif, le texte sera ajouté à la fin de toutes les listes.

\addtotheoremfile{Cette ligne sera ajoutée à la fin de toutes les listes.}
\addtotheoremfile[Proposition]{Cette ligne sera ajoutée à la fin des listes de propositions.}

Il est possible de faire un théorème qui ne sera pas affiché dans la liste. Pour cela, il nous faut utiliser la version étoilée de l’environnement.

\begin{Proposition*}[Liste]
   Cette proposition ne sera pas affiché dans la liste des propositions.
\end{Proposition*}
\listtheorems{Proposition}

Avec ce code, la proposition « Liste » ne sera pas affichée dans la liste des propositions.

Formater l’affichage des listes

Nous pouvons même formater l’affichage des listes différemment. Pour le moment, l’affichage est formaté de cette manière.

<numéro du théorème>   <argument optionnel de l’environnement> \dotfill <page du théorème>

Nous pouvons changer la manière dont est formaté l’affichage grâce à la commande \theoremlisttype qui prend en paramètre le type d’affichage que l’on veut obtenir. Le package ntheorem définit quatre types d’affichage.

Celui par défaut (celui que nous avons défini plus haut) correspond à l’argument all. On peut également utiliser l’argument allname qui a pour caractéristique d’afficher le nom associé à l’environnement avant son numéro.

<nom associé à l’environnement> <numéro du théorème>   <argument optionnel> \dotfill <page du théorème>

Ces deux arguments ont une variante qui affiche uniquement les théorèmes définis avec un argument facultatif. Ces variantes sont opt (variante de all) et optname (variante de allname). On peut alors faire un code qui affiche plusieurs listes.

\listtheorems{Definition}               % Toutes les définitions, option « all »
\theoremlisttype{optname}
\listtheorems{Definition}               % Définitions avec argument optionnel, option « optname »
\listtheorems{Proposition}              % Propositions avec argument optionnel, option « optname »
\theoremlisttype{allname}
\listtheorems{Definition,Proposition}  % Toutes les Propositions et définitions, option « allname »

Création d’environnements

Les commandes de création

Maintenant que nous avons vu comment utiliser les théorèmes, il nous reste à voir comment en créer. Pour cela, nous devons utiliser la commande newtheorem. Elle a deux arguments obligatoires :

• le nom de l’environnement qu’on veut définir ;
• le nom associé à cet environnement.

Pour éviter tout problème, il est conseillé de ne pas utiliser d’accents dans les noms d’environnements. Ainsi, plutôt que de définir Théorème, nous définirons Theoreme.

Nous pouvons par exemple définir un environnement Exemple associé au mot « Exemple ».

\newtheorem{Exemple}{Exemple}

On peut alors l’utiliser comme les autres environnements de ntheorem.

\begin{Exemple}[Premier exemple]
   Voici notre premier exemple.
\end{Exemple}

Notons que nous ne sommes pas obligés de choisir pour nom de l’environnement le nom que l’on veut afficher. Ainsi, avec le code qui suit, nous obtenons le même résultat qu’avec l’environnement Définition que nous avons défini.

\newtheorem{ex}{Exemple}
\begin{ex}[Premier exemple]
   Voici notre premier exemple.
\end{ex}

Lorsque nous utilisons la commande \newtheorem{<environnement>}{<nom>}, deux environnements sont définis, l’environnement <environnement> et sa version étoilée <environnement>* qui permet, rappelons-le, de créer des théorèmes qui ne seront pas affichés dans les listes. Ainsi, en définissant un théorème, nous définissons également sa version étoilée.

Redéfinir un théorème

Il est possible de redéfinir un théorème avec la commande \renewtheorem. Elle a comme argument le nom de l’environnement à redéfinir et le nouveau nom qu’on veut y associer. Ainsi, on peut par exemple redéfinir les environnements prédéfinis pour que les noms soient en français (il ne faudra pas oublier l’option standard dans ce cas).

\renewcommand{Definition}{Définition}

Maintenant, lorsque nous utilisons Definition, le texte que nous obtiendrons sera « Définition ». Bien sûr, nous pouvons redéfinir n’importe quel environnement de ntheorem, même ceux que nous avons définis. Nous ne sommes pas limités aux environnements prédéfinis.

Pour illustrer ce fait, observons le résultat obtenu avec ce code.

\begin{Definition}[Première]
   Première « Definition ».
\end{Definition}
\renewtheorem{Definition}{Def}
\begin{Definition}[Première Def]
   Première « Def ».
\end{Definition}

Ici, « Première Def » est la « Def 2 ».

Arguments facultatifs de \newtheorem

Imaginons que nous avons défini un environnement Theoreme. Nous voulons maintenant un environnement Corollaire, mais, considérant que les corollaires sont des théorèmes, nous voulons qu’ils suivent la même numérotation, c’est-à-dire qu’ils aient le même compteur.

\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}
\begin{Corollaire}

\end{Corollaire}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}

Notre but est d’avoir « Théorème 1 », « Théorème 2 », « Corollaire 3 » et « Théorème 4 ». Pour obtenir ce résultat, nous pourrions ruser et ne pas définir d’environnements Corollaire. À la place, il nous suffirait de redéfinir Theoreme à chaque fois que l’on veut changer le mot à afficher. Cependant, cette solution n’est pas très propre, et surtout, ntheorem nous donne un moyen de faire ceci très simplement.

Pour cela, il nous faut utiliser newtheorem avec un argument facultatif.

\newtheorem{Corollaire}[Theoreme]{Corollaire}

Avec ce code, l’environnement Corollaire est défini et utilise le même compteur que l’environnement Theoreme.

Formater la numérotation

Puisque nous avons parlé de la syntaxe \newtheorem{}{}[], voyons ce qu’elle fait. En fait, elle permet de changer la manière dont l’environnement est numéroté. L’argument facultatif doit être un environnement qui est lui-même numéroté. En utilisant la commande \newtheorem{<environnement>}{<nom>}[<argument>], la numérotation de l’environnement recommencera à 1 à chaque fois que l’environnement <argument> est rencontré. De plus, le numéro de l’environnement sera précédé du numéro de l’environnement <argument>. Un exemple sera plus parlant.

\newtheorem{Theoreme}{Théorème}[section]

\section{Un}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}

\section{Deux}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}

\section{Trois}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}
\begin{Theoreme}

\end{Theoreme}

Compilons ce code et observons le résultat. Nous obtenons « Théorème 1.1 », « Théorème 1.2 », « Théorème 2.1 », etc.

En écrivant \newtheorem{Theoreme}[section]{Théorème}, nous définissons un environnement Theoreme qui utilise le même compteur que section, alors qu’avec \newtheorem{Theoreme}{Théorème}[section], nous définissons un environnement Theoreme qui recommencera à chaque nouvelle section et qui sera également numéroté avec le numéro de la section dans laquelle il se trouve.

Personnalisation des théorèmes

Après avoir vu comment créer des théorèmes, il ne nous reste plus qu’à voir comment personnaliser leur apparence.

Création d’environnements personnalisés

La création d’environnements se fait avec la commande newtheorem. Pourtant nous n’avons pas mentionné quelque chose : cette création se fait avec le style que nous avons choisi. Pour le moment, nous avons le style par défaut. Pour modifier ce style, il faut utiliser quelques commandes avant de faire un nouveau théorème. Les modifications se font avec des commandes de bascule, de sorte que le style est défini jusqu’au prochain changement (à moins qu’elle ne se fasse dans un groupe, auquel cas le changement ne sera effectif que dans le groupe). En fait, la création fonctionne de cette manière.

% Utilisation de commande pour faire un style qu’on appellera « style 1» 
\newtheorem % Création d’un théorème. Il suit le style 1.
\newtheorem % Création d’un autre théorème. Il suit le style 1.
% Utilisation de commande pour faire un style qu’on appellera « style 2» 
\newtheorem % Création d’un nouveau théorème. Il suit le style 2.

La commande \theoremstyle

La commande \theoremstyle permet de définir le style général du théorème. Elle prend en paramètre l’un des styles existants. Quelques styles sont déjà définis.

• Le style plain est le style par défaut de ntheorem. Il tente de reproduire au mieux le style par défaut des théorèmes de LaTeX. Avec lui, l’en-tête de notre théorème est du type « Définition 4 (Exemple de définition) ».
• Le style empty permet de supprimer le nom associé à l’environnement et le numéro du théorème. Nous n’aurons donc que l’argument optionnel d’affiché (par exemple « Exemple de définition »).
• Le style change intervertit le nom associé à l’environnement et le numéro du théorème (nous aurons alors « 4 Définition (Exemple de définition) » à la place de « Définition 4 (Exemple de définition) »).
• Le style margin place le numéro du théorème légèrement dans la marge gauche.
• Le style nonumberplain supprime le numéro du théorème. Nous obtiendrons alors « Définition (Exemple de définition) » à la place  « Définition 4 (Exemple de définition) ».

Nous disposons également du style break. Avec lui, l’en-tête du théorème est séparé de son corps par une ligne verticale. Les derniers styles prédéfinis combinent le style break avec un autre style.

• Le style changebreak combine les styles break et change de sorte que l’en-tête du théorème soit séparé de son corps par une ligne verticale et que les postions du nom associé à l’environnement et du numéro du théorème soient inversées.
• Le style marginbreak combine les styles break et margin. On a donc la ligne verticale de séparation et le numéro du théorème légèrement dans la marge.
• Avec le style nonumberbreak, le numéro du théorème est supprimé et une ligne verticale sépare l’en-tête du théorème de son corps.

Les marques de fin

Il est possible d’obtenir des marques de fin de théorème, c’est-à-dire des symboles pour indiquer la fin d’un théorème. Par exemple, nous pourrions vouloir placer un trèfle « ♣ » à la fin de chaque théorème.

Pour cela, il nous faut tout d’abord charger ntheorem avec l’option thmmarks. Ensuite, il nous suffit d’utiliser la commande \theoremsymbol. Elle prend en paramètre le symbole que l’on veut associer aux théorèmes. Ainsi avec le code suivant, on associe l’étoile « ⋆ » aux « Définitions ».

\theoremsymbol{$\star$}
\newtheorem{Definition}{Définition}

Notons cependant qu’il est possible de changer ponctuellement le symbole utilisé dans un environnement en utilisant la commande \qed dans l’environnement où la modification doit être effectué. La commande \qed indique qu’il ne faut pas utiliser le symbole associé au type de théorème, mais le symbole défini avec la commande \qedsymbol (la commande \qedsymbol prend en paramètre un symbole. Si on ne veut pas de symbole, c’est la commande \NoEndMark qu’il faudra utiliser dans l’environnement. Observons le résultat produit par le code qui suit.

\theoremsymbol{$\bullet$}
\newtheorem{Definition}{Définition}

\qedsymbol{$\star$}
\begin{Definition}
   Le symbole de fin est $\bullet$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
   \qed
   Le symbole de fin est $\star$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
   Le symbole de fin est $\bullet$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
   \NoEndMark
   Il n’y a pas de symbole de fin.
\end{Definition}
\qedsymbol{$\alpha$}
\begin{Definition}
   \qed
   Le symbole de fin est $\alpha$.
\end{Definition}

Remarquons enfin que n’importe quel caractère ou groupe de caractères peut servir de symbole. Nous pouvons parfaitement utiliser 12 ab $\alpha\beta\$ comme symbole.

Des théorèmes encadrés

Nous pouvons de plus faire des théorèmes encadrés. Pour utiliser cette fonctionnalité, nous devons inclure le package framed avant ntheorem et charger ntheorem avec l’option framed. Il nous suffit ensuite d’utiliser la commande \newframedtheorem pour créer un théorème encadré.

La commande \newframedtheorem prend les mêmes arguments (obligatoires et facultatifs) que la commande \newtheorem. De même, les commandes de personnalisation fonctionnent de la même manière. En revanche, les commandes \theorempreskip et \theorempostskip n’ont pas d’effet et il nous faut utiliser les commandes \theoremframepreskip et \theoremframepostskip qui prennent en argument une longueur. Notons que cette longueur peut être négative ; dans ce cas, la bordure de la boîte se rapprochera du texte.

Nous disposons de plus des commandes \theoreminframepreskip et \theoreminframepostskip qui permettent de spécifier l’espacement entre le texte du théorème et la boîte (donc elles correspondent aux marges intérieures).

Des boîtes colorées

Nous pouvons donc placer nos théorèmes dans des boîtes. Nous pouvons également les placer dans des boîtes colorés. Pour cela, nous utilisons la commande \newshadedtheorem qui est similaire à \newtheorem. La couleur de fond est indiquée grâce à la commande \shadecolor qui prend en paramètre la couleur voulue. Pour utiliser \newshadedtheorem, il nous faudra charger le package pstricks (en plus de framed).

Bien sûr, les théorèmes définis avec \newshadedtheorem et \newframedtheorem suivent le style choisi avec \theoremstyle.

Avec le code qui suit, on définit un nouveau type de théorème dont la couleur de fond est le cyan et dont on change les marges intérieures.

\theoreminframepreskip{0.8cm}
\theoreminframepostskip{0.4cm}
\theoremframepreskip{0.4cm}
\theoremframepostskip{0.4cm}
\shadecolor{cyan}
\newshadedtheorem{TheoremeImportant}[Theoreme]{Théorème}

Et ça y est, nous pouvons maintenant avoir des boîtes colorées.

Ici, par exemple, nous faisons un théorème avec une boîte dont le cadre est noir et le fond cyan et ceci grâce à la commande \theroemcolorbox que nous définissons dans notre préambule.

\newcommand{\theoremcolorbox}[2]{\def\theoremframecommand{\fcolorbox{#1}{#2}}}

\theoremcolorbox{black}{cyan}
\newshadedtheorem{TheoremeImportant}[Theoreme]{Théorème}

\begin{document}
\begin{TheoremeImportant}[Théorème très important]
    Voici un théorème très important.
\end{TheoremeImportant}
\end{document}

Nous sommes maintenant capables de créer nos propres types de théorèmes. Pour voir plus de fonctionnalités de ntheorem, nous pouvons aller voir sa documentation.

Cependant, le monde des théorèmes ne se réduit pas à ntheorem et nous pouvons par exemple nous renseigner sur les packages thmtools et tcolorbox.

Merci à @Holosmos pour avoir validé ce tutoriel et merci à tous ceux qui ont aidé et apporté des conseils et corrections.