Un peu de géométrie plane...

Bonsoir, j’ai besoin d’aide pour deux exercices.

Dans le premier, j’ai une telle configuration (ce n’est pas du tout à l’échelle, c’est un croquis) :

On se place dans le repère orthonormé $(0, i, j)$ où $i = (1, 0)$ et $j = (0, 1)$ et non pas dans le repère $(B, w, v)$ comme on pourrait le penser.

J’ai besoin d’exprimer les coordonnées des vecteurs $v$ et $w$ en fonction de la norme du vecteur $u$ et de l’angle $a$.

Je sais que $u = 0 \times i - |u| \times j$ et $v + w + u = 0$ d’où $v + w = |u| \times j$.

Posons $v = v_x \times i + v_y \times j$ et $w = w_x \times i + w_y \times j$, on sait que $v_x = - w_x$.

Par projection du vecteur $v$ sur l’axe des abscisses je trouve $w_x = |u| \times \tan(a)$ puis $v_x = - |u_x| \times \tan(a)$.

En revanche je bloque pour les coordonnées $v_y$ et $w_y$, quelqu’un peut-il m’aider?

Dans le second exercice, on se place dans un repère orthonormé et dans celui-ci on a les vecteurs $u, v$ et $w$ de coordonnées respectives $(2, 1)$, $(-3, 6)$ et $(8, -\dfrac{25}{2})$.

Après avoir montré que $(u, v)$ est une base de $\mathbb R^2$, je dois exprimer à l’aide de deux méthodes les coordonnées de $w$ dans cette base.

La première méthode consiste simplement à résoudre le système :

$2x - 3y = 8$

$x + 6y = -\dfrac{25}{2}$

… et je trouve comme solution $(\dfrac{7}{10}, -\dfrac{11}{5})$.

Le problème est que je ne vois pas pour la seconde méthode.

Merci pour votre aide!

Bonjour,

Pour l’exercice 1, ton expression avec des tangentes me semble bizarre, si l’angle vaut 90°, c’est pas normal que tes cordonnées tendent vers l’infini. De même, je ne comprends pas comment, lors de la projection de v, tu fais apparaître norme de u. J’essaierai plutôt de faire projeter u sur v et sur w.

Pour l’exercice 2, une autre méthode peut partir du constat que ta base (u, v) est orthogonale.

Je me suis trompé dans l’écriture!

Je projette non pas v mais w sur l’axe (Ox)!

Donc on a $w_x = |u| \times \tan(a)$ et $v_x = - |u| \times \tan(a)$.

J’ai édité mon premier post.

Peux-tu détailler ta projection sur l’axe (Ox)? Je n’arrive pas à comprendre comment tu fais apparaître un tangente. Ce dernier me semble faux : si l’angle est droit, tu trouves que les 2 coordonnées sont infinies, alors que $w = -u$ est solution.

Pour avancer dans l’exercice, utilises le fait que tu connais les directions de $v, w$ dans le repère $(O, i, j)$, en introduisant leur norme comme inconnue, tu devrais pouvoir les exprimer dans cette base en fonction de $a$.

Merci pour tes conseils. J’ai fais une erreur dans mes calculs, ce n’est pas une tangente.

Je suis un peu perdu en revanche. En quoi exprimer leur norme permet de répondre à l’exercice? Faut-il que je projette u sur v et w comme tu l’indique?

Désolé d’être un peu long à la compréhension.

Salut,

As-tu compris là où tu t’étais trompé lors de la projection?

En fait, pour le moment tu considères qu’il y a 4 inconnues (les 4 coordonnés), et tu essaies de partir de la relation $u + v + w = 0$ pour les déterminer. Pour moi, comme cela tu n’exploites pas assez le fait qu’on connait les directions de $v ,w$. Or comme on connaît leur direction, il n’y a plus 2 inconnues par vecteur, mais une seule : leur norme. Il faut donc que tu arrives à déterminer $v_x, v_y$ en fonction de la norme de $v$ et de l’angle. Ensuite en utilisant la relation tu peux trouver une expression des normes de $v$ et $w$, ce qui te permettra de conclure.

Plus visuellement, si on te demandait de trouver une solution graphique simple à ce problème, tu te contenterais d’allonger les vecteurs $v$ et $w$ le long des droites qui les portent jusqu’à que leur somme vaille $u$ : cela revient à faire varier la norme, et donc on voit bien que c’est l’inconnue.

À partir de là, on voit mieux le problème: les normes de $v$ et $w$ sont en fait juste les coordonnes de $u$ dans la base $(e_v, e_w)$, où $e_v$ est de même sens que $v$, mais unitaire. Ce qu’on te demande, c’est de donner les coordonnées de la projection de $u$ sur $e_y$ dans la base $(i, j)$. Comme autre façon de faire, tu peux te demander comment traduire cette dernière phrase en terme de produit scalaire (ce n’est pas forcément évident, je ne sais pas quelle aisance tu as avec les projections et autres).