Commutativité

Bonsoir,

J’ai lu que dans un groupe non-abélien $(E, *)$, on a pour $x, y \in E$, $(x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}$.

Mis à part pour le groupe des permutations de $E$ muni de la loi $\circ$, je n’ai jamais vu de preuve de cette égalité. Quelqu’un en possède une ou bien alors c’est au-delà de mon niveau?

Aussi, dans ce cours, à la toute dernière phrase de la partie itéré d’un élément, je ne comprend pas : ça ne fonctionne pas pour un groupe noté additivement?

Bonsoir,

J’ai lu que dans un groupe non-abélien $(E, *)$, on a pour $x, y \in E$, $(x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}$.

Un peu bizarre le "non-abélien". Tu veux dire "pas nécessairement abélien" (ce qui est franchement conventionnellement le cas par défaut) ?

Mis à part pour le groupe des permutations de $E$ muni de la loi $\circ$, je n’ai jamais vu de preuve de cette égalité. Quelqu’un en possède une ou bien alors c’est au-delà de mon niveau?

Non, je ne pense pas que ce soit au-delà de ton niveau. Qu’est-ce qui caractérise l’inverse d’un élément ?

Si et heureusement (ce ne sont que des notations). La relation s’écrit alors $p(a+b)=pa+pb$. Généralement, lorsqu’on utilise $+$, c’est que la loi est commutative (mais c’est juste une convention).

Ok je suis nul, désolé. Merci.

Bon, pour la preuve j’ai pas réfléchi, j’ai pensé à un truc compliqué mais bref.

Pour la deuxième question, j’ai confondu $(a + b)^p = \text{formule du binôme}$ et $p(a + b)$.

Un peu bizarre le "non-abélien".

Je voulais dire "non commutatif". C’est pas la même chose? Que veux-tu dire par "pas nécessairement abélien"?

C’est le même genre de choses que quand on dit que si le groupe n’est pas abélien, alors $(ab)^p=ab∗ab∗…∗ab$. C’est aussi vrai quand le groupe est commutatif, mais dans ce cas, on a en particulier $(ab)^p=a^pb^p$.

Hum, je ne comprend pas ce dernier exemple. Qu’est-ce que tu entend par $ab$, tu entend $(a * b)$?

Ouep, ce que j’ai noté $ab$ est bien $a * b)$, je modifie mon message précédent.

Ok d’accord.

Merci, bonne nuit (t’es courageux à 2:10 du mat! Moi aussi… ).