Plan complexe

Bonsoir, lorsqu’on parle du plan complexe, on parle d’un plan avec des points d’affixe un complexe, sans donner plus de détail. Au mieux d’une bijection qui envoie un complexe sur un point du plan.

Je cherche en fait à définir le plan complexe de manière algébrique, voici comment je procède.

Soit $\mathbf C$ l’ensemble des nombres complexes.

Définition : $\mathbf C$ correspond à $\mathbf R^2$ muni de deux lois de compositions $+$ et $\times$ telle que pour tout $(x, y, x', y')$ :

• $(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')$
• $(x, y) \times (x', y') = (xx' - yy', xy' + yx')$

Théorème : $\mathbf C$ est un espace affine de direction lui-même.

Preuve : Soit $\phi : \mathbf C^2 \to \mathbf C : ((x, y), (x', y')) \mapsto (x' - x, y' - y)$.

Nous avons :

• (Relation de Chasles) Soient $(a, b), (c, d)$ et $(e,f)$ trois complexes, on a : $\phi((a, b), (c, d)) + \phi((c, d), (e, f)) = (c - a, d - b) + (e - c, f - d) = (e - a, f - b) = \phi((a, b), (a, f))$.

• (Existence et unicité d’un translaté) Soit $z$ un complexe. L’application $\phi_z : \mathbf C \to \mathbf C^2 : w \mapsto \phi(z, w)$ est bijective.

Ainsi, un complexe $z = (x, y)$ représente un point $M$ de coordonnées $(x, y)$, on dit que $M$ est d’affixe $z$ et on écrit $M(z)$. Pour $A(a)$ et $B(b)$ deux points d’affixes $a, b \in \mathbb C$, $\phi(a, b) = b - a$ est l’affixe du vecteur $\vec{AB}$.

Pour revenir sur le deuxième point de la preuve de notre théorème, on peut dire que le point $B(w)$ est l’image du point $A(z)$ par la translation de vecteur $\vec{AB}(w - z)$.

Qu’est-ce que vous en pensez?

Bonsoir, lorsqu’on parle du plan complexe

Perso je parle ou bien de la droite complexe ou bien du plan des nombres complexes. Parce que techniquement, un plan complexe c’est un machin de dimension 4.

Qu’est-ce que vous en pensez?

C’est quoi que tu cherches à travers cette preuve ?

Salut,

Perso je parle ou bien de la droite complexe ou bien du plan des nombres complexes. Parce que techniquement, un plan complexe c’est un machin de dimension 4.

Alors je parle du plan des nombres complexes comme une manière de représenter géométriquement $\mathbf C$.

C’est quoi que tu cherches à travers cette preuve ?

Je cherche à expliquer pourquoi on peut représenter géométriquement les nombres complexes.

Si on part de la définition que je donne de $\mathbf C$, on peut intuitivement identifier un complexe à un point dans le plan $\mathbf R^2$, ce qui répond en fait à la question, et le théorème que je donne ne sert pas à grand chose si ce n’est rallonger la preuve.

Peut-être qu’il serait plus intéressant de montrer que $\mathbf C$ est un $\mathbf R$ - espace vectoriel.

Oui, c’est évident. Je me prend la tête pour rien, n’est-ce pas?

Je m’en excuse.

Voici mon problème : $\mathbf C$ est un $\mathbf R$ - espace vectoriel, donc un complexe peut être visualiser comme un vecteur.

Si je prend un couple de complexes $e = (e_1, e_2)$ où $e_1 = 1$ et $e_2 = i$, $e$ est une base de $\mathbf C$.

Je voudrais faire la correspondance entre les vecteurs et les points. J’ai pensé à prendre un plan affine $\mathcal P$ muni d’un repère orthonormé $\mathcal R(O, e)$.

Ce plan affine a une structure d’espace vectoriel via la bijection qui a un point $M$ de coordonnées $(x, y)$ dans $\mathcal R$ fait correspondre le complexe $z = x + iy$ (l’affixe du point $M$) donc en même temps, le vecteur $\vec{OM}$ puisque $z = x \times e_1 + y \times e_2$?

Ce que je ne comprend pas, c’est qu’on parle de vecteur d’affixe $z$ dans le plan des nombres complexes, alors que par définition, on devrait dire que $z$ est un vecteur?

J’espère me faire comprendre…

à condition d’avoir choisi une base…

et un point base ? qu’on peut canoniquement prendre pour 0

Merci c_pages pour ta réponse qui m’aide beaucoup!

Quelques précisions cependant :

Quand tu parles de base canonique sur $\mathbf C$, tu parles de la base $(1, i)$? Donc l’affixe d’un point est un isomorphisme entre $\mathbf C$ (au sens $x + iy$) et $\mathbf R^2$?

Enfin, pour finir, je dirais qu’il est toujours un peu délicat de parler de point dans un espace vectoriel, c’est souvent une source de confusion. Les points vivent dans les espaces affines.

Ce que je voulais dire dans mon précédent post, c’est que $\mathbf R^2$ (j’avais écris $\mathcal P$) est un plan affine où l’on fixe une origine $O$. Donc notre isomorphisme de $\mathbf R^2$ vers $\mathbf C$ permet d’associer un point $M$ à un complexe $z$ qui, décomposé dans la base $(1, i)$, nous permet de visualiser le vecteur $\vec{OM}$ d’affixe $z$.

En effet, mais c’est un peu moins facile à voir que l’isomorphisme entre $\mathbb C$ et $\mathbb R^2$ ; mais s’il est probablement plus élégant de voir les choses ainsi, c’est plus difficile à aborder à niveau élémentaire.

Quand tu parles de base canonique sur $\mathbf C$, tu parles de la base $(1, i)$? Donc l’affixe d’un point est un isomorphisme entre $\mathbf C$ (au sens $x + iy$) et $\mathbf R^2$?

blo yhg a déjà répondu pour l’isomorphisme.

En revanche$(1, i)$ ne peut pas être une base de l’espace vectoriel complexe $\mathbb C$, puisque c’est une famille à deux éléments, et que nous sommes face à un espace de dimension 1. N’importe quel nombre complexe non nul constitue donc une base, et le plus simple est de choisir la famille (1), mais on peut en choisir d’autres (par exemple, $(i)$, ou encore $(1+i)$, etc.)

Ah oui, il y a un espace vectoriel complexe, il est assez étrange en fait, mais il n’est pas dans mon cours (seul l’espace vectoriel réel $\mathbf C$ est introduit).

Ceci dit, je trouve que je me prend trop la tête. Je vais faire assez simple, utilisez vos éléments de réponse pour continuer et surtout me concentrer sur les problèmes et les exercices plutôt que sur un formalisme qui va probablement au-delà de mon niveau.

Ça ne fait jamais de mal de s’interroger sur la nature des objets que l’on manipule. Et puis, au contraire, c’est un très bon investissement de bien comparer les différentes structures qui existent sur un objet pas trop compliqué tel que $\mathcal C$… Justement parce qu’il est muni d’une structure étonnamment riche, que l’on peut comprendre assez rapidement lorsque l’on commence à faire des maths.

Je ne pense pas que ça doit au-delà de ton niveau. Les quelques notions utilisées sont : espaces vectoriels, corps sous-jacent, bases, dimensions.

On peut même généraliser : on peut mettre une structure d’espace vectoriel sur n’importe quel corps ; les deux plus courants (dans le premier cycle universitaire, disons) étant celui des réels et celui des complexes. Il est instructif de comparer les deux structures lorsqu’elles sont présentes. Ce n’est pas une perte de temps, loin de là.

Si je cherche sur arxiv par exemple, "complex plane" renvoie toujours à ℂ

Chez les géomètres complexes et les topologues, ça signifie toujours un espace de dimension réelle 4. Aucun doute là dessus pour avoir bossé dans cette littérature.

En fait si, la vision géométrique découle de cette vision.

Probablement pas vu que la vision géométrique est historiquement antérieure à cette présentation algébrique. (On la retrouve par exemple dans les premiers écrits sur le sujet de Cauchy.)

Si je cherche sur arxiv par exemple, "complex plane" renvoie toujours à ℂ

Chez les géomètres complexes et les topologues, ça signifie toujours un espace de dimension réelle 4. Aucun doute là dessus pour avoir bossé dans cette littérature.

Le "toujours" était beaucoup trop fort, c’est vrai que les deux existent. Mais c’est pas une invention d’Ozmox de dire "plan complexe" pour $ℂ$ vu de manière géométrique. Par exemple c’est la définition donnée sur Wikipédia (cf ici en particulier).

En fait si, la vision géométrique découle de cette vision.

Probablement pas vu que la vision géométrique est historiquement antérieure à cette présentation algébrique. (On la retrouve par exemple dans les premiers écrits sur le sujet de Cauchy.)

Je ne parlais pas du développement historique des choses.

Je m’intéresse aussi à la construction du corps des réels, quelqu’un a-t-il des ressources dessus?

À toi de préciser ce que tu entends par "découle" alors.

J’entendais principalement que quand on construit $ℂ$ comme $ℝ[X]/(X^2+1)$, ça lui donne une structure d’espace vectoriel de dimension $2$ directement, c’est déjà géométrique. Je ne sais pas ce que j’entends par le mot précis "découle", peut-être "peut être construite à partir de" (en tout cas c’est plus naturel/propre que l’inverse).

Ensuite si on veut la structure euclidienne, on a une notion de norme, comme pour toute extension de corps de degré fini. Cette norme est en fait une forme quadratique définie positive (car jamais nulle et par continuité, ou alors en calculant un déterminant). Le produit scalaire se retrouve comme $\Re(u\overline{v})$ (la partie réelle est la moitié de la trace ou bien la moyenne de $x$ et $\overline{x}$).

D’un point de vue formel ça peut se comprendre. Mais j’ai quand même envie de dire qu’il est plus simple de considérer $\mathbf C$ comme la présentation qu’Ozmox a donnée.

Par curiosité personnelle, qu’est-ce que tu entends par :

ça lui donne une structure d’espace vectoriel de dimension 2 directement, c’est déjà géométrique

?

(en tout cas c’est plus naturel/propre que l’inverse)

Je sais pas si c’est vraiment naturel. Ça demande un point de vue algébrique qu’un analyste aurait peut-être du mal à prendre pour naturel. Mais je comprends ce que tu veux dire