J’ai une matrice 3*3 où je dois montrer que les valeurs propres sont : $\mathrm{\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = -1}$. Ainsi que plein d’autres trucs. La chose qui me pose vraiment problème c’est la matrice de passage.
Je comprends pas ce que sont les $x$ qui se baladent à côté de tes vecteurs propres. Il faut que tu trouves explicitement un vecteur dans le noyau de ta matrice, donc que tu trouves une solution particulière du système que tu as écrit pour $\lambda_1$.
Pour ta question, c’est difficile de parler de matrice de passage si on ne considère pas la décomposition en entier. La réponse est "ça dépend de l’ordre que tu as choisi pour les valeurs propres dans la matrice diagonale". En clair, toute décomposition de la forme suivante est valide :
tant que tu mets $e_1$ sur la première colonne de $P$, $e_2$ sur la deuxième, etc. (en supposant que $e_1$ correspond à $\lambda_1$, etc.). Pour t’en convaincre, tu peux calculer $AP$ et $P\mathbf{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$.
Je comprends pas ce que sont les $x$ qui se baladent à côté de tes vecteurs propres. Il faut que tu trouves explicitement un vecteur dans le noyau de ta matrice, donc que tu trouves une solution particulière du système que tu as écrit pour $\lambda_1$.
ça vient des 3 systèmes d’équation, perso’ j’trouve ça :
$\lambda_1$
$$
\begin{aligned}
-\dfrac12 x &= y \\
z &= 0
\end{aligned}
$$
$\lambda_2$
$$\begin{aligned}
-x &= y \\
-x &= z
\end{aligned}$$
$\lambda_3$
$$\begin{aligned}
-x &= y \\
-2x &= z
\end{aligned}$$
Alors j’factorise tout par $x$ pour obtenir les bons coefficients dans les vecteurs. C’est pas comme ça qu’on fait ? J’veux bien me débarrasser des $x$ hein
"ça dépend de l’ordre que tu as choisi pour les valeurs propres dans la matrice diagonale"
Comment ça ? Ici par exemple c’est quoi ma Matrice Diagonale ? (J’suis nul en Jargon).
Le prof à en réalité mis un corrigé de cet exercice c’est ce qui me montre que j’ai pas la bonne matrice de passage. A moins qu’il existe plusieurs matrice de passage ? Si je fais le calcul $P^{-1}AP$ et que ça me donne $I_3$ ça prouve que mes matrices sont bonnes ?
Questions additionelle : C’est $PAP^{-1}$ ou $P^{-1}AP$ qu’il faut tester ?
Est-ce que tu as regardé l’article sur wiki ? Il y a un exemple assez simple pour t’entrainer
Tu as donc bien calculé le polynôme caractéristique de A, dont les racines correspondent aux valeurs propres de A. On peut donc poser (l’ordre ici est arbitraire):
Ensuite pour déterminer les vecteurs propres $v_k$ associés à chaque valeur propre $\lambda_k$ il te faut calculer $(A - \lambda_k \cdot Id) \cdot v_k = 0$ ou alors tu peux aussi vérifier que $A \cdot v_k = \lambda_k \cdot v_k$ où tu peux poser $v_k = (x_k, y_k, z_k)$ afin de résoudre le système d’équation qui en découle. Par exemple, dans le cas de $\lambda_1 = 5$ on a $A \cdot v_1 = 5 \cdot v_1$ qui nous donne le vecteur propre $v_1 = (-1, 1, 2)$ . Il me semble que tu as une erreur dans le calcul de tes vecteurs propres, les signes sont inversés et en effet il n’y a pas de "x", ce sont bien des vecteurs.
Je te conseillerais donc d’essayer de reprendre tranquillement avec $A \cdot v_k = \lambda_k \cdot v_k$, puis de placer ces vecteurs propres dans la matrice de passage P afin de calculer $P^{-1} A P$ pour finalement obtenir ta matrice diagonalisée
PS: J’ai aussi trouvé ce site où tu peux vérifier que tu obtiens bien les bons résultats pour tes valeurs propres et vecteurs propres.
Ensuite pour déterminer les vecteurs propres $v_k$ associés à chaque valeur propre $\lambda_k$ il te faut calculer $v_k = A - \lambda_k \cdot Id$
Tu as écrit une égalité entre un tenseur et un vecteur, ça va être compliqué à satisfaire… J’imagine que tu voulais dire $(A-\lambda_k I)v_k = 0$, ce qui n’est qu’une autre écriture de $Av_k = \lambda_kv_k$. La première forme a cependant le mérite de montrer que $v_k$ est dans l’espace nul de $A-\lambda_k I$, ce qui permet de voir que les $\lambda_k$ sont les solutions de $\det(A-\lambda I)=0$.
Ensuite pour déterminer les vecteurs propres $v_k$ associés à chaque valeur propre $\lambda_k$ il te faut calculer $v_k = A - \lambda_k \cdot Id$
Tu as écrit une égalité entre un tenseur et un vecteur, ça va être compliqué à satisfaire… J’imagine que tu voulais dire $(A-\lambda_k I)v_k = 0$, ce qui n’est qu’une autre écriture de $Av_k = \lambda_kv_k$. La première forme a cependant le mérite de montrer que $v_k$ est dans l’espace nul de $A-\lambda_k I$, ce qui permet de voir que les $\lambda_k$ sont les solutions de $\det(A-\lambda I)=0$.
Oups oui en effet je me suis planté en allant trop vite, merci bien.
Ce que je voulais montrer à Blackline est que la relation $A \cdot v_k = \lambda_k \cdot v_k$ est très utile lorsque l’on veut vérifier rapidement que l’on a bien les bonnes valeurs propres et vecteurs propres associés.
Alors j’factorise tout par $x$ pour obtenir les bons coefficients dans les vecteurs. C’est pas comme ça qu’on fait ? J’veux bien me débarrasser des $x$ hein
Non ok j’ai compris, en fait tu explicites l’ensemble des solutions avec un paramètre $x$. En l’occurrence, ce qui t’intéresse, c’est de trouver un vecteur propre particulier (par exemple celui que tu obtiens pour $x=1$). J’étais perturbé parce que j’avais vérifié seulement pour $\lambda_1$ et visiblement tu as dû te tromper en résolvant le système (le vecteur pour $x=1$ n’est pas dans le noyau de la matrice ; par contre, $(1,-2,0)$ l’est). D’ailleurs, ici tu pourrais expliciter un vecteur dans le noyau de $A+I$ juste en regardant celle-ci (ça économise des calculs !).
"ça dépend de l’ordre que tu as choisi pour les valeurs propres dans la matrice diagonale"
En imaginant les $e_i$ comme des vecteurs colonnes de hauteur 3 (l’égalité matricielle traduit simplement $Ae_i=\lambda_i e_i$). Tu es en train de diagonaliser $A$, en l’écrivant $A=PDP^{-1}$, avec $D$ diagonale (les éléments sur la diagonale sont les valeurs propres de $A$) et $P$ inversible (contenant les coordonnées des vecteurs propres en colonnes).
En fait, l’ordre des couples vecteurs/valeurs propres n’a pas d’importance, l’égalité suivante est également vraie :
Du coup il n’y a pas unicité de la décomposition, et ce pour deux raisons :
Tu peux permuter les couples valeurs/vecteurs propres, ce qui revient à permuter les colonnes de la matrice de passage et de la matrice diagonale.
Tu as différents choix de vecteur propre associé à une valeur propre donnée (cf. plus haut quand on prend $x=1$, on pourrait aussi prendre $x=2$). Un changement de vecteur propre revient à multiplier une colonne de la matrice de passage.
Questions additionelle : C’est $PAP^{-1}$ ou $P^{-1}AP$ qu’il faut tester ?
Depuis le début, on parle de matrice de passage, mais c’est quoi du coup ? Une matrice de passage toute seule, ça ne veut rien dire (pour moi c’est juste synonyme de « être inversible »). La matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$, c’est la matrice de le l’identité de $\mathbf{R}^3$ muni de la base $\mathcal{B}$ dans $\mathbf{R}^3$ muni de la base $\mathcal{B}'$.
La matrice de passage qui apparaît dans la diagonalisation, c’est en fait la matrice de passage de la base de départ $\mathcal{B}$ (celle dans laquelle est exprimée $A$) vers la base $\mathcal{B}'=(e_1,e_2,e_3)$ formée par les vecteurs propres de $A$. Par conséquent, avec les notations précédentes, la formule de changement de base s’écrit :
$$D=P^{-1}AP$$
ou encore :
$$A=PDP^{-1}$$
Du coup, si tu veux vérifier que les $P$ et $P^{-1}$ que tu as calculés sont un minimum cohérents, tu peux calculer $PDP^{-1}$ et vérifier que ça vaut bien $A$ (je rappelle que $D$ est la matrice diagonale contenant les valeurs propres sur la diagonale), ou encore $P^{-1}AP$ et vérifier que ça vaut bien $D$ (dans tous les cas ce sont des calculs pénibles, mais vu qu’on veut aussi checker la cohérence de $P^{-1}$…).
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