Equation de Kelvin - Développement de Taylor

Bonjour,

J’ai un exercice sur l’équation de Kelvin que je n’arrive pas à résoudre et je pense que c’est que des maths. L’équation de Kelvin est donnée par $(\frac{{{p_g}}}{{{p^*}}} - 1) - \frac{{RT}}{{{V_{m,l}}{p^*}}}\ln (\frac{{{p_g}}}{{{p^*}}}) = - \frac{{2\sigma }}{{r{p^*}}}$ . Il faut montrer qu’on peut ré-écrire cette équation sous la forme ${p_g} = {p^*}\exp (\frac{{2\sigma {V_{m,l}}}}{{rRT}})$ si $\frac{{{p_g}}}{{{p^*}}} \approx 1$.

Je pensais donc évidemment faire un développement limité de Taylor.

Je pensais noter $\frac{{{p_g}}}{{{p^*}}} = x + h$ et donc avoir $(x + h - 1) - \frac{{RT}}{{{V_{m,l}}{p^*}}}\ln (x + h) = - \frac{{2\sigma }}{{r{p^*}}}$.

Taylor de $ln(x+h)$ autour de $x=0$: $\ln (x + h) = \ln 1 + \frac{1}{{1 + h}}(x - 1 + h) - \frac{1}{{{{(1 + h)}^2}}}\frac{{{{(x - 1 - h)}^2}}}{2}$

Mais après, je sais pas comment continuer…

Merci d’avance pour votre aide

Merci. Le soucis c’est que je vois pas d’où l’exponentielle sort. Si je suis tes conseils, j’aurai $\varepsilon - \frac{{RT}}{{{V_{m,l}}{p^*}}}\ln (1 + \varepsilon ) = - \frac{{2\sigma }}{{r{p^*}}}$. Puis, je fais un DL de $\ln (1 + \varepsilon ) = \varepsilon + O({\varepsilon ^2})$.

Et donc, $\varepsilon [1 - \frac{{RT}}{{{V_{m,l}}{p^*}}}] = - \frac{{2\sigma }}{{r{p^*}}} \Leftrightarrow \frac{{{p_g}}}{{{p^*}}} = - \frac{{2\sigma {V_{m,l}}{p^*} + {V_{m,l}}{p^*} - RT}}{{{V_{m,l}}{p^*} - RT}}$ . Mais là je vois pas comment avancer…

Ce que tu as fait est juste (tu as juste une petite erreur dans le dernier morceau). C’est ce que je ferais si j’avais ce problème à traiter sans avoir de solution donnée. Ce qu’il y a de bien, c’est que ça te montre que l’exo est horriblement mal posé puisque tu n’as pas besoin de garder une exponentielle : ton expression est plus simple que la leur.

Maintenant, pour aboutir au résultat que l’exo te demande, tu as un logarithme dans la première expression qui va te permettre d’obtenir une exponentielle. Si le rapport entre les deux pression est proche de 1, le premier terme est proche de quoi ? Juste avec ça, sans faire de DL, tu retombes sur leur expression.

Effectivement vu comme ça on tombe sans même faire de Taylor à leur expression… Merci!