Visiblement c’est pas trop clair ce que sont les objets qui forment la formule magique $ax+by+cz+d=0$. Je vais reprendre les réponses d’entwanne, mais à l’envers (anyway, mieux vaut se répéter un peu).
On est donc dans l’espace 3D. On va commencer par une simplification assez classique : au lieu de considérer tous les plans possibles, on va privilégier un point « origine » et considérer uniquement les plans qui le contiennent (on passe d’un problème « affine » à un problème « linéaire »).
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Première question : comment on représente mathématiquement un point ? On va supposer qu’on a naturellement un repère orthonormé dans lequel on peut associer, comme d’habitude, un triplet de nombres réels $(x,y,z)$ à chaque point de l’espace, l’origine $O$ étant représentée par $(0,0,0)$.
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Maintenant, comment on représente mathématiquement un plan contenant l’origine ? Considérons un point quelconque (on évite juste de prendre l’origine) de l’espace, disons $K$, représenté dans notre repère par le triplet $(x_K,y_K,z_K)$. Alors on peut lui associer naturellement un plan contenant l’origine : regardons l’ensemble des points $A$ tel que le vecteur $\overrightarrow{OA}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OK}$. J’ai essayé de représenter la situation sur geogebra, cet ensemble est un plan contenant l’origine (tu peux bouger le point $K$ pour voir comment le plan varie). Réciproquement, on se convainc géométriquement qu’à tout plan de la sorte, on peut associer un point $K$ qui vérifie la propriété précédente.
- Bon, mais d’où vient cette fameuse équation de plan ? Là on va utiliser l’outil algébrique qui permet d’écrire ce que veut dire pour deux vecteurs d’être orthogonaux à partir de leurs coordonnées : le produit scalaire. On sait que deux vecteurs $\vec{u}=(x_U,y_U,z_U)$ et $\vec{v}=(x_V,y_V,z_V)$ sont orthogonaux si et seulement si $x_Ux_V+y_Uy_V+z_Uz_V=0$ Avec les mêmes notations que précédemment, l’ensemble des points $A$ tel que $\overrightarrow{OA}$ est orthogonal à $\overrightarrow{OK}$ est exactement l’ensemble des points $A=(x_A,y_A,z_A)$ tel que $x_Kx_A+y_Ky_A+z_Kz_A=0$.
En fait, ça y est : on a notre équation de plan ! Mais il faut remarquer que le plan est défini par les réels $x_K,y_K$ et $z_K$, et qu’on exprime des conditions sur des coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ pour que le point $A$ correspondant appartienne au plan. Autrement dit, si deux points $A$ et $B$ sont dans le plan défini par $K$, on a le système d’équations :
$$\begin{cases}
x_Kx_A+y_Ky_A+z_Kz_A=0\\
x_Kx_B+y_Ky_B+z_Kz_B=0
\end{cases}$$
Maintenant, si on note $a=x_K,b=y_K$ et $c=z_K$, on retrouve bien l’équation de plan :
$$ax+by+cz=0$$
ce qui veut dire qu’un point $(x,y,z)$ appartient au plan ainsi défini si et seulement si $ax+by+cz=0$ (les réels $a,b$ et $c$ étant trois paramètres intrinsèques au plan). En particulier, ces paramètres $(a,b,c)$ correspondent aux coordonnées d’un vecteur orthogonal au plan !
Il ne reste plus qu’à incorporer le fameux $d$, qui vient du fait qu’on considère en général des plans qui ne passent pas forcément par l’origine. Si on se donne un tel plan générique, on va essayer de translater tout l’espace pour se ramener au cas précédent. Privilégions un point $P$ du plan, et on translate tout de manière à ce que $P$ soit la nouvelle origine. Dans le nouveau repère, on a une certaine équation $(R')$ : $ax+by+cz=0$ du plan, ce qui donne dans l’ancien $(R)$ : $a(x+x_P)+b(y+y_P)+c(z+z_P)=0$. Dans ce cas $d=ax_P+by_P+cz_P$. Bon, il manque pas mal de réciproques à tout ce qu’on a fait, mais c’est vraiment la matière géométrique qu’il y a derrière.
ÉDIT :
En revenant au problème de départ :
- Si on veut savoir si un point $(x,y,z)$ appartient à un plan défini par $(a,b,c,d)$, on calcule $ax+by+cz+d$ et on vérifie que c’est bien égal à 0.
- Si on veut déterminer les paramètres $(a,b,c,d)$ d’un plan à partir des coordonnées de trois points $A,B,C$ dont on sait qu’ils appartiennent au plan, on essaye de résoudre le système suivant (les inconnues sont $a,b,c,d$) :
$$\begin{cases}
ax_A+by_A+cz_A+d=0\\
ax_B+by_B+cz_B+d=0\\
ax_C+by_C+cz_C+d=0
\end{cases}$$
Si $A,B,C$ ne sont pas choisis pathologiquement, l’ensemble des solutions du système est de dimension 1, donc il existe $(a_0,b_0,c_0,d_0)$ tel que c’est l’ensemble des $(\lambda a_0,\lambda b_0,\lambda c_0,\lambda d_0)$, avec $\lambda$ réel. Toutes ces solutions représentent une équation possible du même plan.
