Démonstrations par récurrence

Bonjour,

Il y a une démonstration par récurrence que je ne comprends pas :

http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=377039Capture.jpg

Je ne comprends pas la 4ème lignes de l’hérédité ou on a remplacé le + par deux - car sur la ligne suivante on a 1 - n + 2 - 1 / (n+1)(n+2) mais on a pas la droit de faire non ? car les deux - deviennent un plus normalement? on peut enlever un - comme ça sans en tenir compte ? Je ne sais pas si je me suis bien expliqué.

Je vais reformuler. Au début, tu as un truc du genre : S = 1-a+b

Qu’on réécrit sous la forme S = 1-a-(-b)

Puis S= 1-(a-b)

C’est correct.

Tu es obligé de mettre au même signe sinon tu ne peux pas additionner/soustraire directement.

Donc soit tu fais :

Soit :

Vu que c’est du même signe, ça s’ajoute.

Une autre méthode plus simple serrait de se dire que $a+b = b+a$ (commutativité) donc on échange les postions des fractions :

Si on essaye d’additionner directement :

On obtient un problème :s
Ce n’est pas le bon résultat, là on vient de faire la même erreur que si on avait fait $-2+3=-5$.

Du coup, ils ont choisi de décomposer. Plutôt que faire directement :

Ils ont choisi d’explicité le calcul. Comme si on avait fait : $-2-(-3)=-(2-3)=-(-1)=1$.

Merci à vous deux !