Salut à tous,
en me baladant dans les exercices sur les suites du site de Prépas Dupuy de Lôme, j’ai trouvé celui qui suit intéressant et j’ai donc naturellement essayé de le résoudre. Voici l’énoncé :
Énoncé
Soient $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que
$$ n \in \mathbb{N}, \begin{cases} u_n \le a \text{ et } v_n \le b \\ u_n + v_n \to a + b. \end{cases} $$ Montrer que $u_n \to a$ et $v_n \to b$.
Correction
On a l’encadrement
$$ 0 \le a - u_n \le (a - u_n) + (b - v_n) = (a + b) - (u_n + v_n) \to 0 $$ donc $u_n \to a$ puis $$ v_n = (u_n + v_n) - u_n \to (a + b) - a = b $$
Sauf que j’ai résolue l’exercice différemment de la correction et j’aimerais savoir si ce que j’ai fais est valable. Voici ma résolution :
Soient $l_1$ et $l_2$, deux réels tels que $ u_n \to l_1 \text{ et } v_n \to l_2 $.
Supposons par l’absurde que $l_1 ≠ a$ et $l_2 ≠ b$ alors $l_1 < a$, $l_2 < b$ et $u_n + v_n \to a + b = l_1 + l_2$ ce qui implique $a + b = l_1 + l_2 < a + b$ ce qui est absurde.
On en conclut que l’hypothèse de départ est fausse et donc $u_n \to a \text{ et } v_n \to b$.
CQFD !?
Merci d’avance pour vos réponses 
