Implications réciproques et équivalence

Avec les mains, tu peux comprendre $A \implies B$ comme une preuve qui mange une preuve de $A$ et recrache une preuve de $B$. Si tu as une bête qui le fait dans les deux sens, tu peux le noter comme la première forme plutôt parce que c’est plus court, mais c’est de la notation.

Ce qu’il faut garder en tête, c’est que si tu dois prouver le premier point dans des cas pas triviaux, tu vas souvent le prouver dans un sens puis dans l’autre (donc avec la seconde notation plutôt).

Le problème est, je pense que vous l’avez deviné, que je ne vois pas du tout la différence entre les deux.

Il y en a une, qui est subtile et pas très importante. Selon le langage que l’on emploie, $A\iff B$ peut être une notation pour « $A\implies B$ et $B\implies A$ ».

Par contre d’un point de vue rigueur, je ne comprends pas du tout sa remarque. Peut être a-t-il voulu insister sur le fait qu’on peut démontrer une équivalence en montrant une implication et sa réciproque ?

L’adverbe "rigoureusement" est mal choisi. Il n’y a pas une notation qui est plus rigoureuse que l’autre.

En fait il dit, ou il devrait dire : A <=> B. Mais pour la suite, on va exploiter une partie seulement de cela, on va exploiter uniquement A => B

Et l’écran suivant exploite uniquement A => B.