Représentation des groupes

Désolé si ce que je vais dire est peu compréhensible pour un non habitué de la théorie des groupes (je vais faire comme je peux !).

Déjà tu peux jeter un coup d’oeil ici puisqu’on avait eu une discussion similaire avec pierre_24.

Mathématiquement.

Une représentation d’un groupe $G$ (elle n’est certainement pas unique), c’est la donnée d’un morphisme $G\to {\rm GL}(V)$ où $V$ est un espace vectoriel.

Par exemple il y a la représentation triviale qui envoie tout élément de $g$ sur la matrice identité. (Pas très intéressant.)

On dit qu’une représentation est fidèle si le morphisme de représentation est injectif. C’est une qualité qu’on a envie d’avoir, mais qui est loin d’être automatique.

Moralement.

Ça permet de lire un groupe comme si c’était un sous-groupe de ${\rm GL}(V)$. C’est utile pour avoir une interprétation géométrique du groupe étudié. En fait je pense que c’est ce qui donne sens aujourd’hui au mot « symétrie » quand on parle de « groupe de symétries » (mais c’est certainement sujet à débat).

Par exemple, si je regarde le groupe symétrique (celui des permutations) sur $\{1,\dots,n\}$, je peux donner un morphisme injectif, c’est-à-dire une représentation fidèle, de $G$ dans ${\rm GL}(\mathbf R^n)$, en associant à une permutation son action sur la base canonique (par exemple $(1,2)$ donne la matrice identité sauf sur les deux premières coordonnées qu’elle échange).

Vous vous êtes donnés le mot ou c’est la journée ?

Je vais quand même commencer par dire que si tu cherches le pourquoi, j’avais posé la question il y a quelque temps, et grâce à Holosmos, j’avais recu une réponse plutôt complète, comme il vient de le dire.

Reste donc le comment, en mode chimiste (comprendre, "gros bourrins"):

En gros, le caractère d’une représentation donnée pour un opérateur donnée, c’est la trace de ces fameuses matrices (parce que la trace est invariante sous transformation de similitude, je te refais pas l’histoire). Donc pour chacun de tes opérateurs, tu auras, pour une représentation donnée, un caractère donné. Note qu’il y a moyen de se simplifier la vie, puisque deux opérateurs appartenant à la même classe donneront le même caractère, donc c’est toujours mieux de chercher les classes avant.

Une fois que t’as fait ça, tu vérifie que ta représentation est irréductible. Pour le savoir, tu prend la somme des caractères au carré (fois le nombre d’élément dans la classe le cas échéant). Tu dois forcément obtenir un multiple de la taille du groupe (ce qui est une application du théorème d’orthogonalité). Si t’obtient une fois la taille du groupe, ta représentation est irréductible. Si tu obtient un multiple de celle-ci, alors ta représentation est réductible, et contient autant de représentations irréductibles que de multiples de la taille du groupe.

Pour faire un parallèle, tes représentations irréductible forment une base vectorielle. Si ta représentation est réductible, tu peux toujours l’exprimer comme une somme des vecteurs de ta base vectorielle. Le théorème d’orthogonalité, c’est juste une version appliquée du produit scalaire: le produit scalaire d’un vecteur par lui-même donne 1, le produit d’une représentation irréductible par elle même donne la taille du groupe (ou 1 si on s’amuser à normaliser, d’ailleurs, ce qu’on ne fait jamais). Le produits scalaire de deux vecteurs orthogonaux donne zéro, eh bien le produit de deux représentations irréductibles donne zéro aussi. Et ainsi de suite. Donc de très très loin, on manipule des vecteurs un peu particuliers

Si je suis motivé, j’essayerais de te poster un exemple

Pour faire un parallèle, tes représentations irréductible forment une base vectorielle. Si ta représentation est réductible, tu peux toujours l’exprimer comme une somme des vecteurs de ta base vectorielle. Le théorème d’orthogonalité, c’est juste une version appliquée du produit scalaire: le produit scalaire d’un vecteur par lui-même donne 1, le produit d’une représentation irréductible par elle même donne la taille du groupe (ou 1 si on s’amuser à normaliser, d’ailleurs, ce qu’on ne fait jamais). Le produits scalaire de deux vecteurs orthogonaux donne zéro, eh bien le produit de deux représentations irréductibles donne zéro aussi. Et ainsi de suite. Donc de très très loin, on manipule des vecteurs un peu particuliers

Le parallèle n’en n’est pas un, c’est beaucoup mieux !

Je viens de vérifier dans mes cours d’algèbre (désolé les gars, l’algèbre c’est pas mon truc ^^) et, effectivement, l’un des aspects important c’est que les représentations irréductibles sont une base de l’espace vectoriel des fonctions centrales sur le groupe.

Je redécouvre que la théorie est très intéressante, et aussi plutôt facile à aborder. Du coup voici le poly que je conseille. C’est la toute dernière partie qui devrait vous intéresser plus spécialement.

Normalement, avec un peu de théorie des groupes, ça se comprend facilement. Bien sûr pour tout faire il vaut mieux avoir lu les choses avant … mais c’est pas obligatoire pour vous donner les idées de la théorie. D’ailleurs je vous conseille plutôt de vous focaliser sur les définitions, énoncés (sans regarder les démonstration au début) et les nombreux exemples qui devraient vous intéresser.