Surjectivité?

Bonjour, j’ai deux questions :

• Soit $f : \mathbf N \mapsto \mathbf N : x \mapsto x^2$.

Je souhaite étudier sa surjectivité. Soit $x' \in \mathbf N$. Je regarde si l’équation $y = f(x)$ a au moins une solution dans $\mathbf N$:

$y = f(x) \iff y = x^2 \iff x = \sqrt{y}$.

J’hésite pour la conclusion, est-ce qu’on a forcément $\sqrt{y} \in \mathbf N$ dans notre cas?

• Soit $f, g : \mathbf Z \mapsto \mathbf Z$ définies par $f : k \mapsto 2k$ et $g : k \mapsto \frac{k}{2}$ si k est pair et $g : k \mapsto \frac{k - 1}{2}$ si k est impair.

Je souhaite étudier la surjectivité de $f(g(k))$. On a $f(g(k)) = k$ si k est pair et $f(g(k)) = k - 1$ si k est impair. Même raisonnement que le précédent :

$y = f(g(k)) \iff y = k$ ou $y = k - 1$. Là aussi j’ai du mal à conclure… Merci !

Tout compte fait, il me semble que pour la première question, puisque x prend ses valeurs dans N alors l’ensemble des solution de $y = x^2$, $S \subset \mathbf N$ donc f est bien surjective.

Pour la seconde, en effet, $f(Z) = \{2k | k \in \mathbb Z \}$. Donc si k est pair, on a $y = f(g(k)) = k$ donc y est bien pair. En revanche, ce n’est pas le cas pour $y = f(g(k)) = k - 1$, si k = 0 par exemple, y = -1 est n’est pas pair. Donc la composée de f et de g n’est pas surjective.

Nan nan, $x\mapsto x^2$ n’est certainement pas surjective.

Pour la seconde tu t’es trompé. Si $k=0$, alors $k$ est pair.

edit : je crois que tu n’as pas compris ce qu’est la surjectivité. Revient à la définition.

Ah oui, je n’avais pas pensé que k = 0 soit pair…

Définition de la surjectivité : $f : E \mapsto F$ est surjective ssi $\forall y \in F, \exists x \in E : y =f(x)$ autrement dit l’équation $y = f(x)$ d’inconnue $x$ admet au moins une solution.

Je vais commencer par me concentrer sur la première question, pour ne pas me mélanger.

Donc en reprenant cette définition, on a $y = f(x) \iff y = x^2 \iff x = \sqrt{y}$. Or, $y \in \mathbf N$ et pour y = 2 par exemple, on aurait $x = \sqrt{2} \not \in \mathbf N$.

Donc $f$ n’est en effet clairement pas surjective.

Est-ce que tu sais montrer que $\sqrt 2$ n’est pas entier ?

Il faut que je réfléchisse.

Pour la seconde question, il me semble que f o g soit surjective parce que si $k$ est impair, alors $k - 1$ est pair.

$\exists q \in \mathbf Z, k = 2q + 1$ donc $k - 1 = 2q + 1 - 1 = 2q$.

EDIT : Je parle de f o g et non de f.

Donc :

Les images $f(k)$ sont paires.

En fait, j’avais écrit plus haut : $Im f = \{2k | k \in \mathbb Z \}$.

Donc est-ce que $f$ est surjective sur $\mathbf Z$ ?

Je parlais de f o g dans mon message précédent et non de f.

f n’est pas surjective :

$y = f(k) \iff y = 2k \iff k = \frac{y}{2}$ mais $y \in \mathbf Z$ et tout les entiers ne sont pas pairs…

Non, et c’est en fait la même chose que pour f :

$y = f(g(k)) \iff y = k$ si $k$ est pair ou $y = k - 1$ sinon, donc $f(g(\mathbf Z)) = \{2k | k \in \mathbf Z \}$ et par suite comme $y \in \mathbf Z$ et que tout les entiers ne sont pas pairs, la composée n’est pas surjective.

Merci pour votre aide.

Ce que Holosmos voulait te faire dire, mais que tu n’as pas compris c’est :

Quelles que soient les fonctions f et g, si f n’est pas surjective, f o g ne peut pas être surjective. Et dans la foulée, on pourrait ajouter : si g n’est pas injective, f o g ne peut pas être injective.

Tu as répondu à son invitation dans le cas de ta fonction particulière, mais c’est une propriété générale.

En effet, j’avais répondu en particulier, mais j’avais bien saisi le cas général (lors de mon dernier message du moins).

Il en va de soi.

Sauf si c’est une blague avec chute, il n’y a pas de terme spécifique pour une fonction quelconque (c’est le cas général d’être ni surjectif ni injectif)