probabilité d'avoir 5 carrés de même couleur sur la face d'un Rubik's Cube

Je suis un peu perplexe sur ta question. Parce que même si tu agis aléatoirement sur ton Rubik’s cube, la configuration que tu obtiens n’est pas si aléatoire que ça. (En termes matheux, je dirais qu’on n’obtient pas des configurations uniformément distribuées.)

Par exemple, tu ne peux pas échanger deux cubes choisis n’importe comment, puisque le Rubik’s cube doit toujours rester résoluble.

Par ailleurs, même si on met de côté ce problème, ta formule

est fausse. (Ça ne marcherait même pas pour un lancer de dé.)

Bonjour,

petites sugestions :

Pour calculer le nombre de dispositions possibles en tout, tu peux modéliser ton Rubik’s cube par trois ensembles :

• les centres, qui ne bougent pas et qui ne rajouteront pas de possibilités
• les sommets, 8 en tous (3 orientations chacun)
• les angles, 8 également (2 orientations chacun)

Il ne reste plus qu’à trouver le nombre de facons possibles d’ordonner les sommets, puis les angles. Ensuite, multiplier par les ensembles d’orientations possibles.

J’imagine que ta question est : "quelle sont les chances pour qu’il y est au moins une face avec exactement 5 carrés de la même couleur ?"

Il suffirait donc, pour avoir le nombres de configurations où la condition est vérifiée, de calculer celui-ci pour une face puis le multiplier par 6 (bien que là j’ai un doute).

voilà donc quelques indications pour une face et une couleur (il faudra donc aussi multiplier par le nombre de couleurs):

premièrement, il y a deux cas :

• la couleur qui apparait cinq fois est celle du carré central (qui ne bouge pas)
• la couleur qui apparait cinq fois n’est pas celle du carré central

on remarque ensuite que pour chaque couleur il y a :

• 4 sommets la comportant (3 orientations chacun)
• 4 angles la comportant (2 orientations chacun)

On peut d’abord écrémer en comptant tous les cas pour lesquels le bon nombre de pièces comportants la bonne couleur sont "sur" la face (sans prendre l’orientation en compte)(en prenant bien en compte que "3 sommets et 2 angles" est différent de "2 sommets et 3 angles"). Et ensuite, dans ces cas là, piocher les cas où les pièces ont la bonne orientation.

Voilà. Je crois qu’avec ces étapes (et si je ne me suis pas trompé (ce qui n’est pas du tout garantit)), tous les calculs se rapportent à un des 4 tirages "de base".

Jespar

Quel est ton objectif ?

1. Connaitre la probabilité d’avoir au moins 5 carrés de couleurs. Si c’est vital pour toi, tu peux trouver quelqu’un qui va calculer ce chiffre : par programmation, recenser plein de mélanges de façon aléatoire, et estimer cette probabilité

2. Apprendre à calculer ce chiffre par toi-même, non par estimation, mais par des formules rigoureuses : la barre est très haute, et tu en es très loin. Oublie pour un certain temps. Par exemple, quand tu poses ta dernière question, tu nous montres que tu es très loin du niveau nécessaire.

3. Te former aux exercices de probabilités, il y a des tas d’exercices plus raisonnables et plus pédagogiques.

Oui il y a bien 8 cubes de milieu (avec 1 face de visible), 12 cubes de sommet (avec 2 faces) et 8 angles (avec 3 faces). Pour retomber sur les 56 faces.

1
2
3
4

cubes     faces     Nbr de face    Total
  8    x    3     =     24
 12    x    2     =     24      ->  48
  6    x    1     =     06      ->  56

Un Rubik’s cube ne peut pas être reconstruit n’importe comment. Un article explique ça.

Le problème, c’est que cette question trotte aussi dans ma tête, et qu’elle va trotter tant qu’elle ne sera pas solutionnée.

Donc voici des éléments. Déjà, reformuler la question : on mélange un Rubik’s cube, on le pose sur la table, on regarde la face du dessus, et on demande la probabilité d’avoir 0,1, 2 …9 carrés rouges sur cette face.

L’avantage de calculer toutes les probabilités, c’est qu’on pourra faire un contrôle efficace, si la somme des 10 nombres obtenus ne donne pas 1, c’est qu’il y a une erreur.

Et pour arriver à résoudre cet exercice, on va d’abord résoudre 3 exercices :

• Pour la case centrale, proba qu’elle soit rouge.

• parmi les 4 arêtes, proba d’avoir 0 rouge, 1 rouge, 2 rouges, 3 rouges ou 4 rouges

• parmi les 4 sommets, proba d’avoir 0 rouge, 1 rouge, 2 rouges, 3 rouges ou 4 rouges

Pour la case centrale, c’est facile.

Pour les arêtes, on a 12 arêtes, dont 4 avec une face rouge.

On va déjà faire l’impasse sur l’orientation : Quelle est la probabilité que les 4 arêtes choisies soient les 4 avec une face rouge, ou seulement 3 sur 4 ou seulement 2 sur 4 etc.

Et ensuite, pour chaque cas, on va prendre en compte l’orientation: si j’ai choisi les 4 arêtes avec une face rouge, je peux avoir orienté les 4 pièces avec la face rouge au dessus, ou seulement 3,ou 2 ou 1, ou même 0. Etc Etc

Pour les arêtes , on arrive aux résultats suivants :

Sur les 4 arêtes retenues, on peut avoir 0, 1, 2, 3 ou 4 rouges, les probas correspondantes sont de :

0 -> 46.07%, 1 -> 42.07%, 2 -> 10.98%, 3 -> 0.86%, 4 -> 0.01%

Et ensuite, on fait un raisonnement identique avec les sommets, et on arrive à :

0 -> 46.58%, 1 -> 41.20%, 2 -> 11.22%, 3 -> 0.99%, 4 -> 0.02%

Et on finit par arriver au résultat :

Proba d’avoir 0 carré rouge sur la face du haut = 17.8835%

Proba d’avoir 1 carré rouge sur la face du haut = 35.7248%

Proba d’avoir 2 carrés rouges sur la face du haut = 29.4441%

Proba d’avoir 3 carrés rouges sur la face du haut = 13.0193%

Proba d’avoir 4 carrés rouges sur la face du haut = 3.3628%

Proba d’avoir 5 carrés rouges sur la face du haut = 0.5171%

Proba d’avoir 6 carrés rouges sur la face du haut = 0.0461%

Proba d’avoir 7 carrés rouges sur la face du haut = 0.0022%

Proba d’avoir 8 carrés rouges sur la face du haut = 0.0000479%

Proba d’avoir 9 carrés rouges sur la face du haut = 0.0000004%

Et la somme fait bien 100%

J’ajoute un autre contrôle : la somme 0x17.88% + 1x35.72% + … + 9x0.00% fait bien 1.5.
Contrôler que les chiffres obtenus sont cohérents, c’est essentiel dans des calculs complexes comme ceux-ci.