Montrer qu'une fonction est de classe C¹

Bonjour tout le monde,

Ça fait longtemps que je ne suis pas venu (mais je vous lisais quand même de temps en temps sisi) et j’avais envie de passer, donc me voilà

J’ai eu un exercice à l’oral il n’y a pas longtemps. Hélas, je ne sais plus trop comment faire à un moment, je viens donc vous demander votre aide

Merci d’avance !

On considère les fonctions $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$, continue, telle que $f'(0)$ existe et $F : \mathbf{R} ^ 2 \to \mathbf{R}$ que l’on définit par :

Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbf{R}^2$.

Voici ce que j’ai fait jusqu’à présent. On sait que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbf{R}^2$ si elle admet une dérivée partielle continue sur $\mathbf{R}^2$ en chacune de ses variables.

Si $x = 0$, on a pour tout $y \in \mathbf{R}$ :

La dérivée par rapport à la première variable nécessite de montrer l’existence d’une limite (je dois avouer que sur le moment, j’avais fait l’erreur grossière d’écrire $\partial_1 F(0, y) = 0$. Peut-être l’effet du stresse et un manque de recul à ce moment ).

Pour tout $(y, h) \in \mathbf{R}^2$ :

(Je n’écris pas tous les calculs, c’est long à écrire mais si vous insistez je peux l’écrire)

Étant donné que $f$ est dérivable en $0$, on peut écrire le développement limité de $f$ en $0$ à l’ordre $1$ :

Où $\varepsilon \in \mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ telle quel $\underset{t\to 0}{\lim} \varepsilon(t) = 0$.

De là, vient :

Seulement voilà, je ne sais plus comment on faisait pour se débarrasser du terme lié au $\varepsilon$. Si ce terme disparaissait, on aurait alors ce qu’on voulait au départ (montrer qu’il existe une limite finie en 0). Je ne suis pas très content que l’astuce ne m’ait pas marqué . Auriez-vous une piste ?

Pour le cas où $x \neq 0$, je n’avais pas eu le temps de le traiter mais je pense qu’il y a une histoire de théorème fondamental de l’analyse. Je m’y pencherai demain.

PS : C’est la première fois que j’écris un message avec autant de LaTeX, je n’en suis pas peu fier 8)

Bonjour,

Merci pour ta réponse

Pour montrer que $h^{-2}\int^{hy}_{h}o(t)dt$ tend vers 0, déjà vois-tu intuitivement pourquoi c’est vrai ? Le truc est « strictement » majoré par t (en gros). Si tu remplaces o(t) par t, tu obtiens un truc fini. Mais par quoi d’autre que t peux-tu majorer o(t) au voisinage de 0 ?

Intuitivement, j’ai envie de dire que le terme va disparaître lorsque l’on passera à la limite en faisant tendre $h$ vers zéro ($t$ étant coincé entre $hy$ et $h$, $\varepsilon(t)$ « ne peut que s’annuler »). J’ai toujours un peu peur de manipuler des inégalités dans un contexte lié à des intégrales. En y parlant (les inégalités), il m’est revenu que l’on avait conclut à l’aide de la définition de la limite de $\varepsilon$ en zéro :

Après avoir introduit proprement tout ce qu’il faut, on aurait $|t\varepsilon(t)| < |t\alpha|$. Or, l’intégrale de ce second terme sur $[h;hy]$ converge absolument vers zéro lorsque l’on fait tendre $h$ vers 0, donc le terme minoré aussi et par conséquent, $|t\varepsilon(t)| = 0$. Je pense que c’est comme ça qu’il fallait procéder mais j’ai dû passer des détails à la trappe, qu’en penses-tu ?

Pour le cas $x \neq 0$, je ne vois pas comment procéder plus simplement qu’avec le T.F.A., on a les variables dans les bornes de l’intégrale… ?

Pour la dérivée selon $y$ je trouve $\partial_2 F(x, y) = f(xy)$. Mais pour la dérivée selon $x$, je ne pense pas qu’il soit normal de tomber sur un résultat avec une intégrale et des dérivés de $f$ alors que l’on n’est pas certain, qu’en dehors de 0, $f$ soit dérivable… Il se peut que mon raisonnement et mes calculs soient faux ; comment pourrait-on s’y prendre autrement qu’avec le T.F.A ?

Attention, il faut aussi vérifier la continuité des dérivées partielles. (Et aussi vérifier la continuité avant de faire les dérivées partielles.)

Je pense que mon propos allait déjà dans ce sens, à moins que ma formulation était imprécise ?

On sait que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbf{R}^2$ si elle admet une dérivée partielle continue sur $\mathbf{R}^2$ en chacune de ses variables.

Par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi il me faut vérifier la continuité avant de procéder aux dérivés partielles :X

(j’ai commis quelques erreurs vers la fin de mon code TeX, j’ai corrigé dans le premier message)

Merci d’avance

Salut,

Désolé pour le retard et merci d’avoir répondu

Mais on divise par h2. Il faut raisonner avec des ordres de grandeurs. Ce que tu intègres s’écrase devant t, donc tu obtiens un truc qui s’écrase devant h2, et justement tu divises par h2.

En prenant en compte le $\frac{1}{h^2}$ je ne vois pas comment, intuitivement, le terme gênant disparaîtra. Que me suggères-tu par « ordre de grandeur » ? :S

Que veut dire |tε(t)|=0 ? Il faut forcément parler de cette division par h2. Si on divisait par h3 ça ne fonctionnerait plus.

Sur un certain voisinage de 0 on a tε(t)<tα (on prend tout positif pour simplifier les notations). Ça donne quoi comme majoration de h−2∫hyhtε(t)dt ?

J’imagine que l’on doit faire disparaître le terme $\frac{1}{h^2}$ par une factorisation du numérateur ? C’est ce que l’on obtient ci-suit : Avec la majoration par $t\alpha$, le terme $\frac{1}{h^2}$ se simplifie :

(Je ne sais pas pourquoi j’ai sorti « ça converge vers zéro » o_O) Ainsi, le majorant converge mais pas vers zéro ce qui ne règle finalement pas le problème du terme minoré… Ai-je sauté une étape ?

Pour la dérivée partielle selon la première variable, j’avais :

édit : en fait j’avais fait n’importe quoi. Le résultat que je viens de trouver :

Sauf erreur

Mais on divise par h2. Il faut raisonner avec des ordres de grandeurs. Ce que tu intègres s’écrase devant t, donc tu obtiens un truc qui s’écrase devant h2, et justement tu divises par h2.

En prenant en compte le $\frac{1}{h^2}$ je ne vois pas comment, intuitivement, le terme gênant disparaîtra. Que me suggères-tu par « ordre de grandeur » ? :S

Je ne sais pas trop si je vais réussir à expliquer plus. Peut-être que cet article t’éclaircira : https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparaison_asymptotique Par « raisonner avec des ordres de grandeur », j’entendais raisonner en termes de « A est "très petit" devant B ».

Plus généralement, tu as $\int_0^x o(f(t)) dt = o(\int_0^x f(t) dt)$, c’est juste une généralisation du raisonnement que tu es en train de faire. Si tu intègres quelque chose de négligeable devant $f$, alors tu vas obtenir quelque chose de négligeable devant l’intégrale de $f$.

J’imagine que l’on doit faire disparaître le terme $\frac{1}{h^2}$ par une factorisation du numérateur ? C’est ce que l’on obtient ci-suit : Avec la majoration par $t\alpha$, le terme $\frac{1}{h^2}$ se simplifie :

$$ \frac{\alpha}{h^2} \int^{hy}_h t \mathrm dt = \frac{\alpha}{h^2} \left[ \frac{t^2}{2} \right]^{hy}_h = \alpha \frac{h^2(y^2 - 1)}{2 h^2} = \frac{\alpha (y^2 - 1)}{2} $$

(Je ne sais pas pourquoi j’ai sorti « ça converge vers zéro » o_O) Ainsi, le majorant converge mais pas vers zéro ce qui ne règle finalement pas le problème du terme minoré… Ai-je sauté une étape ?

Écris en entier ce que tu as fait. Tu as majoré quoi par quoi ? C’est quoi alpha ?

Pour la dérivée partielle selon la première variable, j’avais :

édit : en fait j’avais fait n’importe quoi. Le résultat que je viens de trouver :

$$ \forall (x, y)\in\mathbf{R}^2, \partial_1 F(x, y) = \frac{1}{x^2} \left((yf(xy) - f(x))x - \int^{xy}_x f(t)\mathrm dt\right)$$

Sauf erreur

Je trouve la même chose.

Salut,

Merci pour la réponse

En relisant attentivement, je pense avoir compris ce que tu voulais dire par :

Mais on divise par h2. Il faut raisonner avec des ordres de grandeurs. Ce que tu intègres s’écrase devant t, donc tu obtiens un truc qui s’écrase devant h2, et justement tu divises par h2.

Donc de cette façon, la division par $h^2$ se simplifie avec le $h^2$ exhibé (ce que j’ai fait pour le calcul de l’intégrale avec $\alpha$ y ressemble), si j’ai compris.

Le $\alpha$ était un réel strictement positif quelconque, celui de la définition de la limite de $\varepsilon$ :

Soit $\alpha > 0$. Il existe $\eta > 0$ tel que pour tout réel $t$, on ait $|t| < \eta$. Alors on obtient :

Supposons à partir de là tous les termes positifs pour faciliter le calcul.

En intégrant puis en multipliant chaque membre par $\frac{1}{h^2}$ comme dans le message précédent, on a l’inégalité :

À partir de là, je vois mal comment conclure :/

Ah bah oui :facepalm:

Un grand merci à toi