Bonjour, dans un livre de problèmes de maths, je dois étudier sur $\mathbb R$ la fonction $f : x \rightarrow (1 + x)^n - 1 - nx$ où $n \in [[1, + \infty]]$.
Pour cela je dérive en tant que sommes de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, par composition j’ai $((1 + x)^n)' = n(1 + x)^{n - 1}$ et par suite $f'(x) = n(1 + x)^{n - 1} - n = n ((1 + x)^{n - 1} - 1)$ qui est du signe de $(1 + x)^{n - 1} - 1$.
Dans le cas où $n$ est pair, $n - 1$ est impair et alors pour l’inégalité $(1 + x)^{n - 1} - 1 > 0$ est vérifiée pour $x > 0$.
Dans le cas où $n$ est impair, $n - 1$ est pair et alors cette fois-ci l’inégalité est vérifiée pour $x \not \in ]-2, -1] \cup [-1, 0[$.
On peut alors déterminer les variations de $f$, je vous laisse deviner c’est pas bien compliqué, sauf erreur de ma part ci-dessus.
Dans les deux cas, 0 est une racine de $f$. Mais dans le cas où n est impair, j’observe sur géogebra qu’il y a une autre racine, mais je ne vois pas comment la déterminée et pourquoi. 
