Raisonnements en algèbre linéaire

Bonjour,

Voici le document sur lequel je travaille.

J’en suis au 6ème raisonnement, à la 2ème partie.

Je dois donner le noyau de la matrice A. Vu que la matrice mXm est de rang 1, alors dim ker A = m - 1. J’ai l’impression que quand on réduit cette matrice, on va avoir une ligne avec m-1 inconnues secondaires, et du coup je pourrais donner les vecteurs de la base du noyau si on me donnait une matrice quelconque, mais il me semble qu’on attend une réponse générale.

Et du coup je ne sais pas vraiment quoi dire de "facilement" trouvable sur le noyau d’une telle matrice.

Merci !

Salut,

Pense que le noyau d’une matrice est le sous-espace propre associé à 0.

Pour info j’ai pas accès à ton document. Tu peux écrire (avec Mathjax) ton énoncé pour que tout le monde soit au courant ?

Matrice de rang 1, le retour. Soit $\vec{u}$ un vecteur unitaire de $\mathbb R_m$ et $A = \vec{u} \vec{u}^T$

1. Montrer que $\vec{u}$ est un vecteur propre de A (quelle est la valeur propre correspondante ?).
2. Identifier le noyau de A.
3. Déduire des deux parties précédentes que A est diagonalisable et que c’est la matrice de la projection orthogonale sur Vect($\vec{u}$).

Adri1: Ce serait la forme de la matrice une fois échelonnée, et donc les inconnues non principales sont les coefficients de $\vec{u}$ sauf le premier ?

Du coup je verrais bien à quoi ressemble les vecteurs de la famille libre du noyau, mais je suis pas sûr..

Je comprends pas ta définition de $A$.

On prend un vecteur colonne, unitaire, $\vec{u}$, on le multiplie à sa transposée et on obtient A. et du coup A est de dimension $m * m$

C’est ça : https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product

[ajout] Tu peux aussi prendre la question à l’envers, c’est plus naturel je trouve : quelle est la matrice de la projection orthogonale sur $\left<u\right>$ ? (Commencer par donner une expression de cette projection (le vecteur $x$ est envoyé sur quoi ?), puis trouver la matrice.)