Temps d'attente dans une banque

Salut, quelqu'un comprendrait la logique de cet exercice qui est corrigé (question 2) ?

http://hpics.li/b16bc26

http://hpics.li/73c7930

On a un temps d'attente à un guichet qui suit une loi exponentielle de moyenne 20 (donc de paramètre 1/20). Comment ça se fait que l'on trouve un temps pour sortir de 12 minutes quand on considère 2 personnes ? Ce n'est pas logique, ça devrait être 20..

Aussi, à la question 3, le temps pour que les 2 sortent est de 38 minutes. Là aussi, c'est étrange. Logiquement le temps pour sortir c'est le temps de celui qui est le plus long, donc si l'un reste 20 min et l'autre 30, bah le temps pour que les deux sortent est de 30 minutes..

PS : Je parle en terme de logique, car mathématiquement je suis d'accord avec ce corrigé Merci !

Attention, ce résultat est parfaitement logique si tu regardes de plus près.

Déjà la question 1) te montre le pourquoi de la question 2 et 3). ENsuite si tu dessines la fonction de répartition d'une fonction exponentielle, tu vois qu'il y a beaucoup de densité de probabilité pour les petites valeurs et plus tu vas loin, plus la fonction de densité est proche de zéro.

Mais là, la situation est différente. Tu as 2 variables aléatoires, deux individus qui attendent à un guichet. La moyenne tient compte du pire des cas comme du meilleur. Donc pour qu'il faut attendre 20 min (mettons), il faudrait que les deux n'aient pas de chances, ce qui est moins probable. Si tu cumules les deux personnes, tu as une chance que pour l'une d'entre elles le processus aille un peu plus vite qu'en moyenne, donc tu as une chance plus grande que l'un sorte assez vite.

Et réciproquement, si tu cumules deux personnes, tu cumules les risques d’emmerdement, donc que l'un tombe sur un temps d'attente plus long.

Ton erreur c'est de croire que $E(min(X,Y)) = min(E(X), E(Y))$ et idem pour le maximum, ce qui est grossièrement faux.

Ah ok, il faut que je vois ça comme des "tirages successifs" mais qui suivent des lois différentes en gros. Donc plus j'ai de personnes (avec tout autant de guichets), plus le temps que le premier sorte diminuera, c'est ça ?

Sinon, en considérant les densités de probabilités, tu m'as dis que si "je dessine la fonction de répartition d'une fonction exponentielle, on voit qu'il y a beaucoup de densité de probabilité pour les petites valeurs et plus on va loin, plus la fonction de densité est proche de zéro." Cela signifierait que si j'ai plus que 2 personnes, je me rapprocherai de l'espérance de 20 min ? C'est bizarre car en gros, plus je m'éloigne, plus ma densité est faible donc en gros, plus ma probabilité d'être proche de l'espérance est faible.

Mais par exemple, dans le second cas (question 3), j'ai encore du mal à voir la logique. J'ai un temps moyen de 30 min pour le plus long. Je trouve ça bizarre que le temps pour que les 2 sortes soit supérieur à 30 min sachant qu'il y a 2 guichets indépendants.

Imagine que tu joue à pile ou face : tu as 50% de chance de faire pile et 50% de chance de faire face. Je te demande "quelle est la probabilité que 1 un lancer tu réalise un 1 pile" la réponse est évidente : 50%.

Maintenant imagine que tu joue avec un ami et que vous ayez chacun une pièce. Ma question est "quelle la probabilité que au moins un de vous deux face un pile ?". On appel cet éventement A. Comme c'est compliqué de calculer A on va regarder son complémentaire. Le complémentaire de "au moins l'un de vous à fait un pile" est "tout le monde à fait face". Car si tout le monde n'a pas fait face c'est qu'il à un pile donc on est dans l’événement A.

Calculer "Tout le monde à fait face" est facile : c'est la probabilité que tu obtienne un face, multipliée par la probabilité que ton ami en obtienne un aussi. Ce qui fait $1/2 * 1/2 = 1/4 $.

Maintenant imagine qu'on ajoute des joueurs et qu'on garde notre question A : le complémentaire sera toujours "tous les joueurs font face". Ce qui est facile à calculer : $(1/2)^n$ si il y $n$ joueurs. Comme on calcul le complémentaire de A, qui devient de plus en plus petit quand $n$ augmente, on peut en déduire que la probabilité que A se réalise tend vers 1 quand les participants sont plus nombreux.

La situation de ton exercice est du même genre, simplement ton événement A serait "quel est la probabilité qu'un client sorte avant une durée d'attente de $x$ minutes". Ton éventement complémentaire serait "tous les clients ont eu plus de $x$ minutes de queue", ce qui revient à faire le produit des probabilités associés. Et cette probabilité devient de plus en petite quand le nombre de clients augmentent. Ce qui veut dire que ton évenement A devient de plus en plus certain.

Si tu pousse le raisonnement à sa limite et que tu imagines un nombre extrêmement grand de clients et de guichets, il te semblera normal que au moins un client aura été servi ultra rapidement et sortira disons en moins d'une minute. Et ce même si le temps moyen d'attente par guichet est de 20 ou 30 minute !

J'espère que cette petite explication t'aidera !