Construction d'une statistique de texte

1. On divise par n-1 parce qu'autrement l'estimateur est biaise (calcule l'esperance pour t'en convraincre, et tu verras que pour obtenir un estimateur non-biaise, tu devras diviser par le facteur $n-1$).

2. La division par la racine de n depend de la construction de l'estimateur qui depend de ce que tu connais ou non. Ici tu ne connais pas la variance ni la moyenne, donc tu va donc utiliser un test de student.
   Tu veux savoir si l'esperance $E[X]$ de la population suivant une loi normale (d'ecart type $\sigma$ que tu ne connais pas) est egale a une valeur determinee $\mu =35$. Tu disposes de $\bar X$ la moyenne empirique et $S^2$ la variance empirique obtenue par l'estimateur non biaisee de la question precedente ; le tout a partir d'un echantillon $n$.
   D'apres le theoreme central limite, la variable $Z = \frac{\bar{X} - \mu }{ \frac{\sigma}{\sqrt n}}$ converge vers une loi normale, centree et reduite avec $n$.
   Classiquement, tu construis a partir de cela ta zone de rejet et ton test.
   Comme dans ton cas tu ne connais pas non plus la variance, il faut l'estimer, et tu te retrouves dans les calculs avec un racine de $n$ qui doit disparaitre lorsque tu as deja la variance.

En general, tu as une loi $X$ qui depend d'un parametre $\theta$ que tu veux estimer. Tu construis ton estimateur comme fonction d'un echantillon, autrement dit $\bar{\theta_n} = f_n(x_1,...,x_n)$ ou les $x_i$ sont des realisations independantes de $X$.

Un estimateur est dit convergent si $P_X(|\bar{\theta_n} - \theta| > \epsilon) = 0,~\forall \epsilon$ lorsque $n$ tends vers l'infini. On parle de convergence en probabilite, et c'est assez faible puisque l'on demande simplement a ce que la probabilite d'un ecart avec la vraie valeur soit d'autant plus faible que la taille de l'echantillon est grand. Autant dire qu'on peut arreter d'utiliser cet estimateur si ce n'est pas le cas.

Une propriete plus forte est la suivante:

Un estimateur est sans biais si $E[\bar \theta_n] - \theta = 0, \forall n$, et l'on appelle cette quantite le biais de l'estimateur pour le parametre $\theta$. Autrement dit, cette fois on demande a l'estimateur de ne jamais se planter en moyenne.

J'ai mis la definition de l'estimateur convergent pour que tu vois la difference et que tu sentes que cette propriete est plus forte¹.

Un propriete un peu plus faible est la suivante:

Un estimateur est asymptotiquement sans biais si $E[\bar{\theta}_n] - \theta = 0$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Ici il s'agit d'une convergence en esperance.

Pour en revenir a nos moutons, calcule la quantite $E[S^2_n] - Var[X]$. Tu dois trouver $E[S^2_n] = \frac{n-1}{n}Var[X]$ et donc il faut diviser par $\frac{n}{n-1}$ l'estimateur initial pour obtenir un estimateur non biaise.

$E[S^2_n]$ ce n'est pas $S^2_n$.

Part de la definition de la variance empirique: $S^2_n = \frac 1 n \sum_k (X_k - E(X_k))^2$ et calcule l'esperance. C'est pas trivial et il faut d'abord calculer $E(\bar{X}^2)$ et jouer sur les relations entre variance et esperance de $X$.

Solution ici.

Desole, j'ai vraiment peu de temps en ce moment pour repondre.

Je completerais plus tard, mais c'est ton probleme de comprehension vient du passage d'une vision statistique a une vision probabiliste qui peut deconcerter. En faisant un petit point sur les defintions, et en montrant les deux visions tu n'auras plus aucun soucis.

Pour repondre au second point sur l'esperance du $\bar X$:

En fait, $\bar X$ est une variable aleatoire, somme des $X_i$ divise par $n$. C'est un estimateur de l'esperance, certes, mais c'est aussi une variable aleatoire, et donc on peut tout a fait parler de son esperance $E(\bar X)$. Esperanception !

Maintenant, lorsque tu as un echantillon, provenant de tes $X_i$, on les note generalement $x_i$ pour montrer que ce sont des realisations, tu peux calculer la realisation de ton estimateur sur cet echantillon: $\bar x = \frac 1 k \sum_i x_i$.

Pour 1 et 3, je completerais plus tard… dans la semaine.

Pour essayer de répondre, au point 1, tu connais la formule de la variance $V(X) = E((X-E(X)^2) = E(X^2) - (E(X))^2$ ? ça se démontre facilement en distribuant les carrés et en sachant que pour une variable aéatoire X et deux nombres a et b, $E(aX + b) = a E(X) + b$ et que pour deux variables aléatoires X et Y $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ (l'espérance est linéaire, d'une certaine façon). Vu que toutes les variables $X_k$ suivent la même loi elles ont même espérance. Le reste découle facilement.

Pour le point 3, rebelote distribution des carrés, formule généralisée du développement de $(a+b)^2$, la somme des carrés + la somme des produits des termes différents ( $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + a\times b + b \times a$). Même principe avec un peu plus plus de termes.