Traduction français-maths

Bonjour tout le monde ,

J'ai fait en avance un exo de maths et j'aimerais bien, si possible, avoir encore une fois votre avis sur mes réponses. Il s'agit de mettre sous forme symbolique les propositions suivantes ("forme symbolique" = "formule"¹ je pense). Merci d'avance !

Propositions et réponses

1) Il suffit qu'il pleuve pour que l'escargot sorte.

Si A = "Il pleut" et B = "L'escargot sort", alors on a $ A \implies B $

2) Juliette n'ira pas au bal si Tybalt n'y va pas, à moins que Roméo n'y aille.

A = "Juliette va au bal", B = "Tybalt va au bal", C = "Roméo va au bal"

$ A \implies (B \lor C) $

Corrigée par : Karnaj

3) S'il suffit que Juliette aille au bal pour que Roméo y aille, Tybalt n'ira pas au bal sans que Véronique aille au bal.

A = "Juliette va au bal", B = "Roméo va au bal", C = "Tybalt va au bal", D = "Véronique va au bal".

$ (A \implies B) \land (D \Leftrightarrow C) $

4) Pour que Roméo aille au bal, il faut et il suffit qu'on l'y ait invité.

A = "Roméo va au bal", B = "Roméo est invité".

$ A \Leftrightarrow B $ ("Il faut" : $ A \implies B $ et "Il suffit" : $ B \implies A $ en même temps donne bien une équivalence).

Corrigée par : Freedom.

5) Il faut qu'une porte soit ouverte ou fermée.

A = "Une porte est ouverte".

$ A \oplus \neg A $

Validée par : Karnaj

6) Pour que Juliette aille au bal, il faut qu'il pleuve.

A = "Juliette va au bal", B = "Il pleut".

$ A \implies B $

Corrigée par : elegance.

¹ : qu'est-ce qu'une formule ?

Une formule est une suite finie de symboles du vocabulaire (un symbole est un élément du vocabulaire).

Le vocabulaire, en logique propositionnelle, est constitué par :

• Un ensemble infini dénombrable de phrases élémentaires (les propositions), généralement représentées par des variables propositionnelles (genre P0 = "les chats sont gris", P0 est la variable propositionnelle et "les chats sont gris" est la proposition, ou encore A, B, C, …). Synonyme de "proposition" : "atome".

• Les deux constantes $\top$ et $\bot$

• Un ensemble de connecteurs logiques (XOR, AND, implique…)

• Les parenthèses ( et ).

J'ai pas regardé en détail l'ensemble, par contre "il faut" n'est pas plus fort que "il suffit", ce sont les deux des implications qui ne seront pas dans le même sens. "il faut et il suffit" sera donc une équivalence.

Pour reprendre ton exemple :

• Pour que Roméo aille au bal, il faut qu'on l'y ait invité : $A\Rightarrow B$, i.e. si Roméo est au bal, alors on l'a invité, mais si il n'est pas là on ne sait rien. L'invitation est une condition nécessaire mais non suffisante.
• Pour que Roméo aille au bal, il suffit qu'on l'y ait invité : $A\Leftarrow B$, i.e. si on invite Roméo, alors il vient au bal, mais si il est là, ca ne veut pas dire qu'on l'y ai invité. L'invitation est une condition suffisante mais non nécessaire.

En plus de la remarque de mon VDD, il y a problème avec celle-là :

A = "Juliette ne va pas au bal", B = "Tybalt ne va pas au bal", C = "Roméo ne va pas au bal"

$ (B \implies A) \lor (\neg C \implies \neg A) $ (le $ \lor $ est inclusif et comme on lit de gauche à droite, bein même si la première expression booléenne vaut vrai, comme on ne s'arrête pas, la deuxième sera lue et si celle-ci est vraie, alors Juliette ira bien au bal)

Ton raisonnement très « informatique » ne marche pas ici (du fait de ton interprétation du $\lor$). L'expression que tu as écrite est en fait vide : $X \implies Y$ est logiquement équivalent à $Y \lor \neg X$. Dès lors, $(B \implies A) \lor (\neg C \implies \neg A)$ est équivalente à $\neg B \lor A \lor C \lor \neg A$, etc.

Pour que Juliette aille au bal, il faut qu'il pleuve. Mais Juliette ne va pas systématiquement au bal à chaque fois qu'il pleut. Donc, en langage mathématique, ça s'écrit …

Pour la deux, je pense qu’il faut plutôt se demander quelle condition sont satisfaites quand Juliette va au bal. Je considère les propositions :

• $A$ = « Juliette va au bal » ;
• $B$ = « Tybalt va au bal » ;
• $C$ = « Roméo va au bal ».

On peut écrire $A \implies (B + C)$. Car ce que la phrase dit c’est que si Juliette va au bal, c’est que soit Tybalt y va, soit Roméo y va. Il n’y malheureusement pas implication, alors si Roméo va au bal en se disant que Juliette y sera car il y va, il a des chances d’être déçu.

Freedom, merci pour tes explications, c'est bien plus clair maintenant

Ah oui en effet. Du coup la bonne réponse serait $ A \implies B $ non ? (A = "Juliette va au bal" et B = "Il pleut"). En français ça donnerait : quand Juliette va au bal, c'est qu'il pleut.

Karnaj,

Pour la deux, je pense qu’il faut plutôt se demander quelle condition sont satisfaites quand Juliette va au > bal. Je considère les propositions :

AA = « Juliette va au bal » ; BB = « Tybalt va au bal » ; CC = « Roméo va au bal ».

On peut écrire A⟹(B+C)A⟹(B+C). Car ce que la phrase dit c’est que si Juliette va au bal, c’est que soit > Tybalt y va, soit Roméo y va. Il n’y malheureusement pas implication, alors si Roméo va au bal en se > disant que Juliette y sera car il y va, il a des chances d’être déçu.

Ah mais oui ! Je me suis vraiment compliqué la vie… Si je garde A = "Juliette ne va pas au bal", B = "Tybalt ne va pas au bal", C = "Roméo ne va pas au bal", la formule $ A \implies (B \oplus C) $ que tu as donnée reste inchangée non ? Donc la bonne réponse serait toujours cette formule ?

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Sinon concernant la question de la porte, elle vous paraît comment ?

Ah mais oui ! Je me suis vraiment compliqué la vie… Si je garde A = "Juliette ne va pas au bal", B = "Tybalt ne va pas au bal", C = "Roméo ne va pas au bal", la formule $ A \implies (B \oplus C) $ que tu as donnée reste inchangée non ? Donc la bonne réponse serait toujours cette formule ?

Non, tu ne peux pas écrire ça, parce que cette formule signifie que si Juliette ne va pas au bal, alors Roméo ou Tybalt, l’un des deux au minimum, ne va pas au bal, or ce n’est pas le cas. Juliette peut très bien décider de ne pas aller au bal alors que Roméo et Tybalt y vont.

Sinon concernant la question de la porte, elle vous paraît comment ?

J’ai l’impression qu’il s’agit juste d’un cas du tiers exclus. Avec la proposition $A$, « une porte est ouverte », on a $A + \neg A$, et le ou peut même exclusif, c’est-à-dire qu’on a $A \oplus \neg A$

Ok. Du coup je reviens à ta formule et j'ai une autre petite question. Ton $ + $ est-il un $ \lor $ (ou inclusif) ?

Oui c’est bien un ou exclusif. Et le $\oplus$ est un ou exclusif.

EDIT : et si tu veux fonctionner avec les propositions types « Juliette ne va pas au bal », je crois que ça donne $BC \implies A$, c’est à dire que si Roméo ne va pas au bal et que Tybalt ne va pas au bal, alors Juliette ne va pas au bal.

Salut,

Je pense que tu as voulu dire "Oui c'est bien un ou inclusif"

Merci pour ton aide !

Sinon, quelqu'un pourrait-il valider ou non la proposition n°3 s'il vous plaît ? C'est la dernière, toutes les autres ont été corrigées !

Edit :

@elegance : hey, je n'ai pas eu confirmation de ta part que la formule correspondant à la proposition n°6 est bien $A \implies B$. J'en profite pour rappeler l'énoncé : "6) Pour que Juliette aille au bal, il faut qu'il pleuve. A = "Juliette va au bal", B = "Il pleut"."

Je n'avais pas vu la question… mais oui, ta réponse est correcte.

Merci !