Suite de Cauchy

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonsoir,

J'ai une question concernant "comment savoir si une suite est Cauchy". On considère la suite suivante: ${x_{n + 1}} = \frac{{\cos {x_n}}}{2},{x_0} = \pi /4$

En gros c'était dans un QCM et fallait dire si elle convergait vers une limite "étrange", si elle était croissante, de Cauchy ou alors divergente. Quand on me demande si une suite est de Cauchy j'ai le reflexe de vouloir calculer sa limite car toute suite convergente est de Cauchy. Cependant, ici je vois pas comment la calculer (la limite). Est-ce même possible sans calculatrice ? Je suppose qu'il faut partir de la définition formelle mais je ne vois pas comment le faire avec une fonction trigonométrique! Aussi, est-ce qu'à vue "d'oeil" vous dites directement que c'est une suite de Cauchy (par intuition) ?

Merci d'avance!

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Tu as $x_{n+1} = f(x_n)$, où $f : x \mapsto \frac {\cos x} 2$.

Comme $f$ est continue sur $\mathbb R$, $l$ est limite de $(x_n)$ si et seulement si $l$ est point fixe de $f$ ($f(l) = l$). Pour calculer les limites possibles, tu peux donc t'intéresser à $g$ définie par $g(x) = f(x) - x$.

Je t'invite à jeter un coup d'oeil à la partie 6 de ce cours.

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Je l'ai pourtant vu en Sup, le lien étant un cours de MPSI. Après, lesdits théorèmes se démontrent très facilement (comme la fonction est continue, on peut passer à la limite des deux côtés de l'égalité).

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Oui on a vu ce théorème! Donc si je comprends bien c'est un peu plus compliqué à cause du cosinus et il faut donc que je passe par une fonction auxiliaire g ? Enfin, pour calculer la limite "possible" je calcule la dérivée de g et je regarde quand elle s'annule ? Si oui, je peux me limiter à $\left[ {0;2\pi } \right]$ ? :D Ceci dit, qu'est-ce qui me prouve que c'est la limite de la suite ? Car j'ai pas l'impression qu'elle est strictement décroissante.

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Tu as $x_{n+1} = f(x_n)$, où $f : x \mapsto \frac {\cos x} 2$.

Comme $f$ est continue sur $\mathbb R$, $l$ est limite de $(x_n)$ si et seulement si $l$ est point fixe de $f$ ($f(l) = l$). Pour calculer les limites possibles, tu peux donc t'intéresser à $g$ définie par $g(x) = f(x) - x$.

Je t'invite à jeter un coup d'oeil à la partie 6 de ce cours.

Vayel

La réciproque est fausse. Si tu as $f$ avec deux points fixes, tu as potentiellement deux limites possibles. Il faut donc a minima une condition sur $x_0$ pour une telle réciproque. Mais il me semble même qu'on ne peut pas conclure de manière aussi générale même en connaissant $x_0$.

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Banni

Pour la croissance, as-tu dessiné $\frac{\cos}{2}$ ? Regardes à quoi ressemble le début de $u_n$ sur le dessin.

Pour le reste, as-tu "vu" les fonctions lipschitzienne ?

Et sinon, je dirais que le point de convergence n'a pas d'expression algébrique simple…

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Tu prends un $m$ et un $n$ quelconques superieur a un certain rang et tu verifies que la distance entre les deux suites converge vers 0. Comme les indices peuvent etre quelconque, il peut etre plus facile selon les cas d'utiliser $m$ et $m+1$ (mais pas toujours), ou de calculer pour $m > n$. Tout ca revient au meme.

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Banni

@KFC : Je ne comprends pas ce que tu dis. Est-ce bien de vérifier que $u_n - u_{n-1} \to 0$ ? Si oui (? pas sûr), alors un contre exemple est la série harmonique (edit : et le premier truc que tu dis est-il que $u_n - u_{n+p} \to 0$ pour tout $p$ ?). Ensuite, ce que tu dis est d'appliquer simplement la définition de suite de Cauchy, mais je ne vois pas en quoi cette idée est suffisante…

Pour le reste, as-tu "vu" les fonctions lipschitzienne ?

ρττ

Pas encore non :(

ZDS_M

Pas grave, c'est juste que c'est un exemple d'application. Mais ça se voit avec un dessin sinon, ce doit être ce qui était attendu pour le QCM.

Une autre idée est de regarder déjà ce que produit une première application de $\frac{\cos}{2}$ sur ℝ tout entier. Que vois-tu ?

Pour les fonctions lipschitzienne, je ne sais pas trop quelle question te poser… Une application « ludique » je crois connue : une carte d'une ville, lorsque l'on est dans la ville, a toujours exactement un point pile au dessus de celui qu'elle représente. Pourquoi ? Quels points peuvent directement être éliminés (on est certain qu'ils ne sont pas au-dessus du point qu'ils représentent) ? (enfin, ce n'est pas cette idée de points à « éliminer » qui se généralise mais bref)

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En fait c'est juste la traduction de la definition d'une suite de Cauchy (dans un espace metrique) : il existe un rang $N$ a partir duquel la distance entre deux termes quelconques de la suite est inferieur a un $\epsilon$ quelconque.

Autrement dit, la suite est de Cauchy si $\lim_{N} \sup_{m,n > N} d(x_m, x_n) = 0$. Et ca, c'est en general assez simple a montrer.

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Merci à tous! En fait, en traçant un graphe "vite fait" on s'aperçoit effectivement que tous les termes se rapprochent petit à petit donc elle est effectivement de Cauchy. Cependant je crois que sa limite est assez compliquée à calculer :o Au passage, j'ai jeté un coup d'oeil sur Wikipedia aux fonctions Lipschitzienne et ça a l'air intéressant !! :p

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