Calcul de limite

Bonjour,

J'aimerais essayer de calculer la limite suivante:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{{e^x} - 1}}{x})}}{x}$

Ce que j'ai essayé de faire:

On sait que $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$ Ce qu'on peut écrire sous la forme ${e^x} - 1 = \phi (x)x$ où $\phi (x) \to 1$ lorsque x tend vers 0. Ainsi,

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{{e^x} - 1}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{\phi (x)x}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \phi (x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\phi '(x)}}{{\phi (x)}}$ où on a utilisé la règle de Bernoulli-l'Hospital.

J'aurais donc conclu à une limite égale à 1. C'est cependant faux vu que le corrigé me donne 1/2 comme réponse (sans raisonnement). J'ai ensuite pensé à faire un DL_n mais il me paraît un peu compliqué du coup je demandais s'il n'y pas plus facile/rapide. De plus, je ne saurais pas à quel ordre m'arrêter…

Je pense que ma méthode en haut ne fonctionne pas car je n'ai aucune information sur sa dérivée.

Merci d'avance!

Merci. C'est donc la seule façon de faire pour cette limite ? Du coup, effectivement après calculs j'obtient:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\frac{{{e^x} - 1}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{e^x} - {e^x} + 1}}{{x({e^x} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2})}}{{{x^2} + o({x^2})}} = \frac{1}{2}$

Merci beaucoup! Sujet résolu.

Attends, tu n'as pas répondu à la demande de précision de Holosmos… T'as le bon résultat mais il me semble qu'il y a deux erreurs qui se compensent (je crois voir d'où vient la deuxième mais je n'ai aucune idée pour la première).