Nombres complexes

Bonjour,

Je voulais savoir comment faire cet exercice. Déterminer le nombre de solution de l'équation complexe: $\left| z \right| = {z^5}$

Intuitivement je dirais 5 ou 6. J'ai posé $z = a + ib$ mais je vois pas comment dire quoi que ce soit car je tombe sur ${a^2} + {b^2} = {(a + ib)^7}$

Merci.

Oui bien sûr. Ca donnerait ceci $\left| z \right| = {z^5} \to r = {(r)^{1/5}}.{e^{i(\frac{\alpha }{5} + \frac{{2\pi k}}{5})}}$ mais je vois pas en quoi ça aide :/

$r$ est un réel strictement positif. L'argument l'est aussi dans ce cas et du coup on 5 solutions distinctes ? Est-ce que dans ce genre d'exos c'est utile de prendre des exemples pour voir vers quoi on se dirige ?

Selon WolphramAlpha, il y a 6 solutions.

Je vois vraiment pas pourquoi…

Donc je devrais avoir un argument $\alpha \)$ pair, en d'autres termes un multiple $2\pi k$ , k entier. Donc pour savoir le nombre de solutions, je regarde $r = {r^{1/5}}{e^{i(\frac{\alpha }{5} + \frac{{2\pi k}}{5})}}$ et je cherche combien de valeurs de k sont entières pour avoir $\alpha \)$ pair ?

Edit: Mais le fait de voir cet exposant 5 te donnes une idée qu'il y a aux alentours de 5 solutions, non?

En forme trigonométrique si: regarde ici

Oui mais non : 0 a une infinité d'argument, c'est vrai, donc la notion d'unicité de l'angle $\alpha$ n'existe pas. Mais ça n'empêche en rien que $r$ soit nul ici.

Je vois pas ce qui te gêne. On a une équation portant sur un complexe $z$. On écrit ce complexe en forme trigonométrique: $z = re^{i\theta}, r \in \mathbb{R}_*^+, \theta \in [0,2\pi]$. Par définition $r \neq 0$.

Sauf que cette forme n'inclut pas le complexe 0, qui est une solution. Donc si tu utilises uniquement cette forme, tu manques une solution.

Ah oui, j'avais oublié ça. On enlève l'étoile alors. 0 est une solution et ensuite pour chercher les autres on pose la condition $r \neq 0$.

Merci. J'ai essayé de faire les calculs et je pensais avoir compris mais en fait non. En fait j'ai dis que si R = 0 on a la solution triviale. Si x > 0,

$\frac{r}{{{r^{1/5}}}} = {e^{i(\frac{\alpha }{5} + \frac{{2\pi k}}{5})}}$

Et je cherche le nombre de "k" pour lesquels on sera congrus à module 2pi. Il est évident que si k = 2, c'est bon car on a pi, idem pour k = 7, k =12, etc. Par contre pour k = 12 et k = 7 (et aussi k=2) c'est les même car $3\pi = 2\pi + \pi $ du coup je vois pas trop comment on peut dire qu'il y a 6 solution car comme ça j'aurais dis 2 solutions (une étant triviale et l'autre avec arg = pi).

Je ne comprends pas ce que tu essaies de faire avec ton $k$ et ton $\alpha$, tu écris ton complexe sous la forme $re^{\imath\theta}$ avec $r$ positif et $\theta$ quelconque.

Ta condition de départ est $|z|=z^5$ qui se réécrit $r=r^5e^{\imath 5\theta}$. $r=0$, donc $z=0$ est trivialement une solution, ensuite tu supposes $z\neq 0$, donc $r$ strictement positif. Ton expression devient donc $1=r^4e^{\imath 5\theta}$, je te laisse conclure à partir de là.

C'est pas plutôt $1=e^{i5\theta}$ la dernière expression ? Sinon je suis d'accord avec ce que tu as dit.

@Grimur: J'ai juste fait l'étape de la division par $r$ depuis $r=r^5e^{\imath 5\theta}$. Je voulais laisser la suite à l'OP.