Engendrement et indépendance linéaire

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir très bien compris ces deux affirmations:

  1. Si la famille $\left\{ {{{\overrightarrow v }_1};...;\overrightarrow {{v_k}} } \right\}$ engendre l’espace vectoriel V , alors $\dim V \le k$

Je comprends ça comme: les $k$ vecteurs forment une base de l'espace vectoriel, si on enlève des vecteurs à cet espace vectoriel $V$, comment peut-on encore engendrer l'espace ? Pour moi, on est juste certains qu'ils soient linéairement indépendants.

  1. Si la famille $\left\{ {{{\overrightarrow v }_1};...;\overrightarrow {{v_k}} } \right\}$ est libre l’espace vectoriel $V$ , alors $\dim V \ge k$

Pareil. Je crois que je confonds les deux car j'aurais dis que là on est sûr d'engendrer mais si on rajoute des vecteurs (et donc plus de vecteurs que dans la base) il ne seront plus linéairement indépendants.

Merci d'avance :)

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Je comprends ça comme: les k vecteurs forment une base de l'espace vectoriel

Nop, ça veut simplement dire que ta famille est génératrice, i.e. que tout vecteur de $V$ peut s'écrire comme combinaison linéaire (pas nécessairement unique) des $v_i$. Si en plus ta famille est libre (toute combinaison linéaire est unique), alors tu as une base.

Si la famille {v→1;…;vk−→} engendre l’espace vectoriel V , alors dimV≥k

Pour te rendre compte que c'est faux, tu peux prendre une base de ton espace vectoriel et lui ajouter autant de vecteurs nuls que tu veux ; tu obtiendras une famille génératrice (qui engendre l'espace), mais bien sûr ta dimension ne change pas.

Tu peux jeter un oeil à ces deux cours :

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Je vais regarder ça. Merci!

Est-ce que tu pourrais regarder mon exemple ci-dessous pour me dire si c'est bien comme ceci qu'il faut "réfléchir" (ou en tout cas retrouver le résultat correct) ?

Soit la famille

$$\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right];\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right];\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]} \right\}$$

Ici k = 3.

Et

$$V = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right];\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ 0 \end{array}} \right];\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right];\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 2 \end{array}} \right]} \right\}$$

Comme $\dim V = 4 > k = 3 \Rightarrow $ on a dépendance linéaire (famille liée) mais tout de même engendrement. On généralise: si $\dim V > k$ on a engendrement de V. Pour l'indépendance linéaire c'est donc le contraire. Le cas d'égalité $\dim V = k$ nous assure qu'on a une base (engendrement et indépendance linéaire).

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$\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

Comme $\dim V = 4 > k = 3 \Rightarrow $ on a dépendance linéaire (famille liée) mais tout de même engendrement. On généralise: si $\dim V > k$ on a engendrement de V. Pour l'indépendance linéaire c'est donc le contraire. Le cas d'égalité $\dim V = k$ nous assure qu'on a une base (engendrement et indépendance linéaire).

Ton implication est fausse. Oui, on a dépendance linéaire, mais l’engendrement n’est pas assuré. Prenons par exemple $\mathbb{C}$ en tant que $\mathbb{R}$-espace vectoriel. $\dim \mathbb{C} = 2$. Soit $V = \left\{1, -1, 2, 3 \right\}$. On a $\dim V = 4$ et pourtant $V$ n’engendre pas $\mathbb{C}$. Ou dans ton exemple, on prend

$$ V = \left\{ \begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}2\\ 0\\ 0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}1\\ 2\\ 0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}0\\ 3\\ 0\end{bmatrix}  \right\} $$

Si on doit généraliser ce serait ainsi.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $k$ et soit $V$ une famille de vecteurs de $E$ . On a  :

  • si $\dim V > k$, alors $V$ est une famille liée ;
  • si au moins $k$ vecteurs de $V$ forment une famille libre, alors $V$ engendre $E$.

De même, on n’a pas forcément indépendance linéaire si $\dim V < k$ . Prenons par exemple $E = \mathbb{R}^3$ (donc $k = 3$) et $V = \left\{ (1, 0, 0), (2, 0, 0) \right\}$. On a $\dim V = 2 < k$, et pourtant, $V$ n’est pas une famille libre.

EDIT : mathjax.

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Ou plus facilement, tu peux prendre $n$ fois le même vecteur avec $n$ bien plus grand que ta dimension de l'espace. Cette famille n'est ni libre ni génératrice.

De manière générale (en dimension finie) :

  • si ta famille est strictement plus grande que la dimension : elle est liée ;
  • si ta famille est strictement plus petite que la dimension : elle n'est pas génératrice.

Mais on n'a pas de réciproque aussi générale.

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