Limites de fonctions

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Salut, j'ai eu un contrôle sur les limites de fonctions, où j'ai du mal car je ne sais jamais si il faut utiliser le théorème des gendarmes ou bien du minorant/majorant, et je me retrouve souvent avec des indeterminations que je n'arrive pas à résoudre.

Par exemple, dans le contrôle, on a eu ça:

Determiner $\lim_{x\to -\infty} \sqrt{4x^2 +1} - 2x$.

Sur ma calculatrice je trouve $+\infty$.

Mais voilà où j'en arrive par le calcul:

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})} + 2x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2x} = 0^-$$

par composé, somme et produit de limite

Auriez vous une idée de mon erreur ? Est-ce qu'il faut que je détaille ? Comment bien réussir sur ce chapitre?

Merci et bon dimanche :)

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Pourquoi tu te prends le chou comme ça à calculer l'inverse de ce que tu étudies ? Tu te compliques la vie pour pas grand chose. Au passage dans la forme du haut tu as écris $-2x$, en bas $+2x$, lequel est le bon ?

Si la forme du haut est correcte, il n'y a aucune forme indéterminée. Calcules la limite de chaque terme, il n'y a aucun problème. Du coup, j'avoue ne pas comprendre ton souci.

EDIT : ah je crois comprendre, tu multiplies en haut et en bas par la quantité conjuguée ? Du coup si je comprends bien tes calculs c'est inutile, sinon je continue de chercher pourquoi ça ne marche pas.

EDIT 2 : tu as oublié un point crucial : $\sqrt{x^2} \neq x$ mais vaut $|x|$. Ce qui tombe bien vu qu'on est dans un cas où le signe va changer. Si tu veux vraiment passer par cette façon de faire, tu dois refaire tes calculs en faisant attention au signe.

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Ah oui super, je crois que j'ai résolu. Par contre je suis pas sûr de la rédaction:

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})} + 2x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{-x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x(-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2)}$$

$$\lim_{x\to -\infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} = 2^+$$
par composé de limite

$$\lim_{x\to -\infty} (-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2) = 0^- $$
par somme de limite

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x(-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2)} = +\infty$$
par produit et quotient de limite

C'est ça ?

EDIT: Ah mais oui c'est vrai en le regardant je peux le faire sans problème.. je ne sais pas pourquoi j'avais trouvé une forme indéterminée en contrôle…

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Plusieurs remarques :

  • en fait je maintiens (et insiste lourdement sur le fait) que tu compliques la vie pour rien : la limite de $\sqrt{4x^2+1}-2x$ en -infini se calcule directement : la limite du premier terme de la somme est +infini, celle du second est aussi +infini. Inutile de chercher compliqué si ce n'est pour risquer de se tromper.
  • Quand tu écris $\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})} + 2x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{-x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2x} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x(-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2)}$, rien ne te permet d'affirmer à l'avance que les limites existent et donc que l'écriture ait un sens. Mieux vaut écrire "AU voisinage de -infini, $\frac{1}{\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})} + 2x} = \frac{1}{-x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2x} = \frac{1}{x(-\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} + 2)}$ et de calculer la valeur de la limite au tout dernier moment afin de justifier qu'on puisse calculer la limite.
  • $\lim_{x\to -\infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} = 2^+$ : oui pourquoi 2+ ?
  • "par produit de limite" : c'est pas vraiment un produit ^^
  • EDIT : ah oui j'oubliais mon voisin du dessous a raison, y'a une forme indéterminée qui apparaît et qui t'empêche de conclure du coup.
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C'est assez capillotracté le passage à l'inverse. Je prendrais l'expression de base, je sortirais le $x$ de la racine en utilisant une valeur absolue comme dit Goeland-croquant et c'est fini. Ce que tu as fait par contre est faux vu qu'au dénominateur tu as une indétermination que tu n'as pas levée.

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