Séries numériques

Bonjour à tous,

J'ai pas mal de difficultés avec les séries. J'aimerais faire un petit point:

Est-ce qu'en général on s'attache à la limite d'une série (en l'infini) ou bien sa somme ? De plus, est-on capable de calculer la somme si elle n'est ni arithmétique ni géométrique ? Concernant les techniques/théorèmes à utiliser pour déterminer si une série est convergente, est-ce que j'ai bien "que" le Th. de Cauchy (racine n-ième) et le Th. d'Alembert (critère du quotient) ?

Considérons par exemple la série suivante : $\sum\limits_{n = 0}^\infty {(\frac{{3n + 2}}{{4n + 5}}} {)^n}$

Je décide d'utiliser Cauchy:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {({(\frac{{3n + 2}}{{4n + 5}})^n})^{1/n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n}}{{4n}} = \frac{3}{4} < 1$

Comme la limite est < 1, Cauchy nous dit que la série converge absolument (et donc converge). Ceci me paraît clairement faux ou en tout cas clairement contre-intuitif dans ce cas-ci… Mais bon c'est peut-être correct, je ne sais pas!

J'aimerais bien avoir des petites astuces si vous avez pour les séries en général ou alors si vous avez un bon cours à recommander (je trouve pas grand chose sur YouTube/le net globalement).

Merci!

Merci beaucoup ! Je vais lire tout ça attentivement Est-ce que quelqu'un pourrait juste me donner un exemple pour utiliser le théorème de comparaison ? edit: Par exemple, si je veux discuter la convergence de la série suivante $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{n}{{n + 1}}} $ J'ai essayé le Th. d'Alembert (critère du quotient) mais ça me donne 1. Du coup, je me replie sur le critère de comparaison : $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{n}{{n + 1}}} < \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} $ et on montre que la série est divergente. Est-ce la bonne approche à avoir ? (déjà, est-ce que mon encadrement est correct ? ) Par là, je veux dire: essayer les théorèmes que je connais c-à-d Alembert et Cauchy et puis seulement se baser sur le critère de comparaison?