Trouver l'écart type d'une loi normale

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour,

Je cherche quelqu'un qui pourrait m'expliquer comment trouver l'écart type d'une loi normale d'espérance E(X) = 14*E(A) + 25*E(B).

Je connais :

  • A qui suit N(7000; 153) soit E(A) = 7000, σ(A) = 153.
  • B qui suit N(1500; 823) soit E(B) = 1500, σ(B) = 823.
  • X = 14A + 25B
  • X suit N(E(x) ; σ(x)) = N(E(14A + 25B) ; σ(X)).

Donc :

1
2
3
4
5
6
E(X) = E(14A + 25B)
E(X) = 14*E(A) + 25*E(B)
E(X) = 14*7000 + 25*1500
E(X) = 135 500

X -> N(135 500 ; σ(X))

Je suis bloqué à l'écart type, je ne sais pas comment le développer. Je voudrais comprendre comment faire.

D’après la correction, je suis censé trouver : σ(X) = 20 686, en faisant : σ(X) = √( [14*σ(A)]² + [25*σ(B)]² ).

$σ(X) = \sqrt{ [14*σ(A)]² + [25*σ(B)]² }$

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Salut ! il faut certainement utiliser le fait que $\mathbb{V}(aX + b) = a^2 \mathbb{V}(X)$ et que $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y)$ lorsque $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes, avec $\mathbb{V}(x) = (\sigma(x))^2$ la variance. ;)

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J'ai essayé comme ça, mais on se retrouve avec de la covariance :

$$ V(X) = 14^2V(A) + 25^2V(B) + 2 \times 14 \times 25 \times Cov(A, B) $$

En supposant que les variables sont indépendantes, le calcul ne donne pas le résultat fourni. Dans le cas contraire, j'ignore quoi faire de cette covariance.

@A-312 : pour trouver la formule ci-dessus, tu utilises la proposition 2.7.3 pour exprimer ta variance, puis tu développes en utilisant la linéarité de l'espérance et reconnais une covariance comme exprimée en proposition 2.7.12. Enfin, tu peux utiliser le fait que la covariance de deux variables indépendantes est nulle.

µEdit :* en fait, avec les variables considérées indépendantes, je trouve la formule que tu fournis. J'ai donc dû me planter dans l'application numérique.

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Oui les deux variables sont indépendantes.

J'ai regardé cette après midi pour : $V(X) = E(X²) − E(X)²$, je ne suis pas sûr de l'avoir utilisé correctement mais ça revient à : $\mathbb{V}(X+Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y)$.

$σ(X) = \sqrt{ V(X) }$

$σ(14A + 25B) = \sqrt{ V(14A + 25B) }$

$σ(14A + 25B) = \sqrt{ V(14A) + V(25B) }$

Mais là je dois faire comment ? Selon la propriété $V(aX) = a² * V(X)$…

EDIT :

Et donc $V(X) = σ(X)²$

Soit $V(aX) = a² * σ(X)²$

$V(aX) = [a * σ(X)]²$

Dans mon résonnement bloquais sur la variance et l'espérance, j'ai associé les deux alors que c'est deux valeurs différentes…

Merci pour vos réponses. :) J'ai compris mon soucis, j'associé V(A) avec 7 000…

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Tu développes :

$$ \begin{aligned} V(X) &= V(aA + bB) \\ &= E([aA + bB]^2) - E(aA + bB)^2 \\ &= E(a^2A^2 + 2abAB + b^2B^2) - [aE(A) + bE(B)]^2 \\ &= a^2E(A^2) + 2abE(AB) + b^2E(B^2) - [a^2E(A)^2 + 2abE(A)E(B) + b^2E(B)^2] \\ &= a^2V(A) + b^2V(B) + 2ab[E(AB) - E(A)E(B)] \\ &= a^2V(A) + b^2V(B) + 2abCov(A, B) \end{aligned} $$

Comme $A$ et $B$ sont indépendantes, $E(AB) = E(A)E(B)$ i.e. $Cov(A, B) = 0$ et donc $V(X) = a^2V(A) + b^2V(B)$.

Bon, du coup tu as édité. :)

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