Intégrale de Lebesgue - dessin

Bonjour,

Je suis dans les intégrales de Lebesgue et comprends de manière intuitive ce qu'est l'intégrale d'une fonction étagée positive (section 2.5), mais je bloque sur l'intégrale d'une fonction réelle Lebesgue-mesurable positive (section 2.6).

En effet, autant je visualise très bien comment on encadre une fonction avec des rectangles pour les intégrales de Riemann, autant je ne parviens pas à faire la correspondance avec la théorie de Lebesgue.

Auriez-vous un dessin pour illustrer cela ? Ou peut-être m'expliquer celui-ci ?

Merci.

L'idée de base à retenir, c'est qu'au lieu de découper l'espace départ en morceau, on découpe l'espace d'arrivé. Mon défunt professeur de mesure avait l'habitude plaisanter en disant que le coup de génie de Lebesgue ce fût d'avoir tourné la tête de 90°.

Ouep, mais je ne comprends pas pourquoi les rectangles, sur l'image suivante prennent toute la largeur.

Normalement, on ne devrait colorier que l'image réciproque des morceaux de l'axe des ordonnées, non ?

Une fonction étagée, ça traduit le fait que tu as découpé l'axe des ordonnées (donc l'espace d'arrivée) en un nombre fini de valeurs. En particulier, pour Lebesgue, une construction possible est de choisir l'intégrale de Lebesgue d'une fonction comme la limite croissante des fonctions étagées qui sont majorées par la fonction elle-même (donc tu t'approches en découpant l'axe des ordonnées de plus en plus finement), et c'est le théorème de convergence monotone qui te permet de conclure.

Ce qu'il faut voir, c'est qu'au niveau des abscisses, tu peux prendre n'importe quel ensemble, du moment qu'il est mesurable. Par exemple pour l'indicatrice de $\mathbb{Q}$, les singletons sont tous mesurables, de mesure nulle, donc en particulier $\mathbb{Q}$ est mesurable de mesure nulle comme union dénombrable d'ensemble de mesure nulle disjoints. Elle est bien étagée car elle prend seulement deux valeurs : $0$ et $1$. Et finalement, son intégrale sur $\mathbb{R}$ est $\int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_\mathbb{Q} \mathrm{d}\lambda = 1 \lambda(\mathbb{Q}) + 0 \lambda(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) = 0$.

Sur le dessin ici, c'est exactement la même chose, tu as une somme d'indicatrice, avec une indicatrice par rectangle.

Le mien disait plutôt que Lebesgue aimait prendre les choses par derrière …

Sinon Vayel, en principe la construction est la même si tu découpes selon l'axe des ordonnées. Tu te choisis une subdivision dessus et tu regardes l'image réciproque.