Analyse dimensionnelle en mathématiques ?

Dans un autre sujet, on mentionnait l'utilité de l'analyse dimensionnelle en physique et en informatique.

Après un détour sur le fait de pouvoir représenter une longueur par un nombre réel, je me pose toujours cette question :

Existe-t-il un exemple en mathématiques, où, l'analyse dimensionnelle (au sens physique ?) est nécessaire à la résolution d'un problème ?

Salut,

Alors oui effectivement, vue sous cette angle je dirais non, cette approche n'est pas nécessaire.

Mais c'est pareil en physique, à aucun moment l'analyse dimensionnelle n'est nécessaire pour résoudre un quelconque problème (ou alors il y autre façon de faire, ou alors on est dans une résolution empirique). Selon moi, c'est un outil qu'on utilise pour vérifier les formules et interpréter les différentes variables mises en jeu dans nos équations.

De la même façon que l'on développe un sens physique pour aborder un problème, on peut développer un instinct mathématique pour visualiser les données mises en jeu et les relations entre elles. C'est une façon de voir les choses qui se prête bien à la vulgarisation (cela m'intéresse beaucoup) je trouve.

Quelques formules par exemple respectant ce principe :

1. La distance euclidienne met une racine sur une somme de distances aux carrées (se généralise à la distance p racine p ième sur somme de distances à la puissance p).
2. La formule de Héron aussi par exemple donne l'aire (distance carrée) d'un triangle est faite d'une racine d'un produit de quatre distance (donc bien une distance au carrée).
3. Un trinôme en x ($a x²+b x+c$) où l'unité du coefficient constant $c$ est 1, le déterminant ($b² - 4ac$) est d'unité inverse carrée de x, sa racine unité inverse de l'unité de x, et on vérifie aussi la validité de la formule qui donne les racines.

L'analyse dimensionnelle m'a beaucoup servi dans mon approche des maths et de la physique. Par exemple quand on dérive x d'unité [x] par rapport à y d'unité [y] on obtient quelque chose d'unité [x/y], et cela se retrouve dans la formule de la dérivée. Ça paraît con mais ça m'a beaucoup aidé.

Autre exemple intéressant, les fonctions créées à partir de séries entières ("polynôme infini"). L'unité des coefficients sont souvent trouvés par des calculs mathématiques (genre des factorielles) et donc n'ont pas d'unité. On en déduit alors que ces fonctions prennent en paramètre un réel adimensionné, et renvoient un nouveau réel adimensionné.

Cela se retrouve dans les formules physiques, au pif dans https://en.wikipedia.org/wiki/Shannon%E2%80%93Hartley_theorem où l'on donne au logarithme quelque chose sans unité (et après il y a conversion en bits / secondes).

( Après il y a la question des unités "factices" comme le décibel ou le radian )

J'ai pas bien compris ça :

L'unité des coefficients sont souvent trouvés par des calculs mathématiques (genre des factorielles) et donc n'ont pas d'unité.

Après, ce que tu proposes (les trois exemples) sont 3 interprétations purement physiques.

L'analyse dimensionnelle m'a beaucoup servi dans mon approche des maths et de la physique. Par exemple quand on dérive x d'unité [x] par rapport à y d'unité [y] on obtient quelque chose d'unité [x/y], et cela se retrouve dans la formule de la dérivée. Ça paraît con mais ça m'a beaucoup aidé.

Tu peux développer ? En quoi ça t'as aidé ?

Salut,

Mais c'est pareil en physique, à aucun moment l'analyse dimensionnelle n'est nécessaire pour résoudre un quelconque problème (ou alors il y autre façon de faire, ou alors on est dans une résolution empirique). Selon moi, c'est un outil qu'on utilise pour vérifier les formules et interpréter les différentes variables mises en jeu dans nos équations.

C'est profondément erroné, et ça me surprend de la part de quelqu'un qui cite le théorème de $\pi$ Buckingham. L'analyse dimensionnelle, c'est plus qu'un outil qu'on utilise juste pour vérifier vite fait une formule ou interpréter des variables. C'est un outil puissant pour diminuer la dimensionnalité d'un problème et donc d'une part pour comprendre fondamentalement quelles sont les vraies variables qui ont un sens vis-à-vis du problème, mais c'est aussi un outil fondamental pour explorer l'espace des phases d'une famille de problèmes physiques. Si au lieu d'avoir 6 dimensions à explorer, tu n'en as plus que deux, tu vas gagner un temps non négligeable en calcul.

Existe-t-il un exemple en mathématiques, où, l'analyse dimensionnelle (au sens physique ?) est nécessaire à la résolution d'un problème ?

Il n'y a pas de "sens physique" de l'analyse dimensionnelle, c'est un outil mathématique. Des problèmes purement mathématiques qui demandent de faire attention aux dimensions, il y en a plein. Par exemple, le simple problème que tu as posé, si tu ne te places pas dans un cadre adimensionné, c'est le bordel fini.

Il n'y a pas de "sens physique" de l'analyse dimensionnelle, c'est un outil mathématique. Des problèmes purement mathématiques qui demandent de faire attention aux dimensions, il y en a plein.

Ce que j'entendais par là c'est que des objets comme « longueur », « temps » sont physiques. De mémoire, je n'ai que des dimensions physiques en tête, d'où mon interrogation sur l'existence de dimension non physiques.

Par exemple, le simple problème que tu as posé, si tu ne te places pas dans un cadre adimensionné, c'est le bordel fini.

Mais dans ce problème, si on ne fait pas attention aux questions de dimensions, aucun problème ne se pose, si ?

Ce que j'entendais par là c'est que des objets comme « longueur », « temps » sont physiques. De mémoire, je n'ai que des dimensions physiques en tête, d'où mon interrogation sur l'existence de dimension non physiques.

De base, une dimension comme celle du temps ou d'une longueur est quelque chose de physique, mais l'analyse dimensionnelle est un outil mathématique.

Mais dans ce problème, si on ne fait pas attention aux questions de dimensions, aucun problème ne se pose, si ?

Parfois, j'ai vraiment l'impression que tu fais exprès de ne pas comprendre/poser une question à côté de la plaque… Le fait de ne pas faire gaffe et considérer les distances et les aires comme des distances revient à adimensionner le problème et donc dans ce cas aucun problème ne se pose et on peut très bien ne pas se poser de question. Ce n'est pas pour autant que cet aspect n'a pas d'importance dans la résolution du problème. Le choix que tu fais par défaut (et on n'a a priori aucune raison d'en faire un autre, on est d'accord) fais que tu peux tout faire inconsciemment. Ce n'est pas pour autant que ce serait le cas si tu prenais le même problème différemment en utilisant des variables dimensionnées (et à priori, on n'a aucune raison de se l'interdire). Donc un problème se poserait si on prenait des longueurs et des aires avec des dimensions associées. Le problème a donc un lien avec la question du système dimensionnel utilisé. Le fait que cet aspect soit trivialement écarté n'annule pas son existence…

Le fait de ne pas faire gaffe et considérer les distances et les aires comme des distances revient à adimensionner le problème

Tout à fait. À aucun moment je me suis posé la question dimension/adimension. C'est comme si tu me disais qu'en Terminale quand j'ai fait de l'arithmétique j'ai fait de la théorie de groupes finis. Dans le fond, c'est vrai, mais dans la réflexion, ça n'a pas été le cas puisqu'à cette époque je ne savais même pas ce que c'était qu'un groupe.

Tu vois où je veux en venir maintenant ?

On peut certainement arriver à trouver dans le fond un rapport mais dans la réflexion même, on peut s'en passer. C'est ce qui me fait penser que ça n'est pas nécessaire dans la résolution tellement c'est « évident » ou « passif ».

On peut certainement arriver à trouver dans le fond un rapport mais dans la réflexion même, on peut s'en passer. C'est ce qui me fait penser que ça n'est pas nécessaire dans la résolution tellement c'est « évident » ou « passif ».

Parce que ton problème est simple. Tout comme tu n'as pas besoin de faire de la théorie des groupes quand tu ajoutes deux entiers, tu n'as pas besoin de réfléchir sur l'adimensionnement quand tu joues à ce niveau. Mais si tu commences à t'intéresser aux résolutions des équations de Navier-Stokes (l'un des problèmes de maths les plus pointus, mais je pense que tu es au courant), tu as plutôt intérêt à réfléchir avant comment adimensionner intelligemment.

Malheureusement je connais pas bien techniquement le problème de N-S. Je veux bien te croire sur l'intérêt du dimensionnement.

Après c'est un problème difficile et qui est à la limite entre physique et mathématiques. Peut-être pourrions-nous trouver un exemple plus simple ?

Juste pour ma défense adri1 je présentais l'analyse dimensionnelle telle que je la voyais et comment elle pouvait servir à faire un tutoriel axé débutant sur ce site (enfin pas du niveau mécanique des fluides). Mais effectivement si c'est essentiel pour certains problèmes ça ferait une ouverture ou un chapitre avancé sympa.

Il n'y a pas besoin de s'attaquer à un problème avancé pour voir cet intérêt (qui est le plus grand de l'analyse dimensionnelle).

Prends une chute avec frottements (coefficient de frottement $f$ considéré constant) dans un cas purement vertical, composantes comptées positives vers le haut. La chute est décrite par $m\ddot z = -(mg + f\dot z)$, supposons qu'on ne sait pas comment résoudre ça analytiquement (ce qui n'est pas délirant pour un débutant ).

On a comme paramètres $f$, $m$, $g$, une altitude de départ $z_0$ et une vitesse initiale $\dot z_0$. Soit 5 paramètres. On se demande comment évolue le temps de chute quand on se déplace dans l'espace des paramètres.

T'as la méthode "je fonce sans réfléchir", qui t'oblige à explorer un espace à 5 paramètres, ça commence à faire, surtout qu'on n'a pas tellement de bornes bien définie, et du coup on sait pas trop où on va.

T'as la méthode j'adimensionne d'abord. Tu prends $z_0$ comme échelle de distance, $\sqrt{\dfrac{z_0}{g}}$ comme échelle de temps et enfin $f\sqrt{\dfrac{z_0}{g}}$ comme échelle de masse. Ton équation adimensionnée devient alors $m(\ddot z+1)+\dot z=0$ (ce sera déjà moins chiant à coder), et tu n'as plus que deux paramètres sans dimension à explorer, $m$ et $\dot z_0$ (ce que le théorème de $\pi$ Buckingham nous permettait de prédire), puisque par construction, en adimensionné, $z_0=g=f=1$.

L'exemple est bon @dri1, je vais pas dire le contraire. Mais j'ai tout de même l'impression d'avoir fait de la physique et pas que des maths.

Je commence à me dire que l'analyse dimensionnelle est propre à la physique et qu'il n'y a pas d'équivalent en dehors.

C'est pourtant ça qui m'avait fait tilté dans la proposition de tutoriel. Ça laissait entendre qu'il y a des applications purement mathématiques à cette méthode. Mais « Les dimensions des variables physiques, mathématiques mais aussi celles issues des algorithmes » est peut-être un titre trompeur.

L'exemple est bon @dri1, je vais pas dire le contraire. Mais j'ai tout de même l'impression d'avoir fait de la physique et pas que des maths.

Je répondais à toinou, qui semblait considérer qu'il faut utiliser un exemple physique compliqué pour voir cet avantage et donc que ça doit être un chapitre avancé. Pour moi, c'est par là qu'il faudrait commencer, le reste n'est qu'introductif.

Je commence à me dire que l'analyse dimensionnelle est propre à la physique et qu'il n'y a pas d'équivalent en dehors.

L'analyse dimensionnelle est principalement utilisée comme outil en physique, oui. Mais je ne vois pas ce qui te dérange dans le fait que c'est un outil mathématique, et qu'on peut voir les dimensions comme un espace vectoriel (le choix d'un système de dimensions élémentaires n'est alors plus qu'un choix de base). La question de l'adimensionalisation comme on l'entend en physique peut alors prendre un sens mathématique plus général : comment s'affranchir d'un maximum de vecteurs de bases sans perdre de degré de liberté lorsqu'on étudie une famille d'applications dans un espace vectoriel ? Et je suis sûr qu'on peut trouver des cas où cette question serait cruciale lorsque tu t'amuses à explorer la famille d'applications en question.

Terence Tao avait écrit quelque chose dessus sur son blog (j'ai pas lu).

Un truc tout bête c'est que dans bien des problèmes, déterminer si la dimension est infinie ou non, va permettre d'orienter vers des outils plus adaptés.

Dans bien des cas, ce qui se passe en dimension infinie est bien plus complexe et rien ne se passe comme prévu. Pour le coup, il ne s'agit pas forcément de déterminer la dimension exacte.

Ensuite, le meilleur exemple serait les conditions d'observabilité et de controlabilité des systèmes dynamiques dont certaines sont uniquement des conditions de dimension, par exemple le théorème de Kalman.

Salut,

Je n'ai pas lu tout le thread, d'avance je m'excuse si je répond à côté.

Je ne crois pas que ce soit nécessaire en mathématiques (mais je n'y connais rien) toutefois j'étais tombé sur une démonstration du théorème de Pythagore qui utilisait l'analyse dimensionnelle et j'ai trouvé ça intéressant : https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/02/03/la-plus-belle-demonstration-du-theoreme-de-pythagore/

Je vois pas bien pourquoi $C^2 f(\theta)$ est la seule option possible. Pourquoi on pourrait pas avoir $C(C+1)f(\theta)$ par exemple ?

Parce que cela signifierait que $C^2$ et $C$ sont de mêmes dimensions, ce qui est faux.
Ou alors que $1$ a la dimension d'une longueur, ce qui est étrange (puisque la valeur de cette constante dépendrait alors des unités choisies).
La validité de cette démonstration tient à l'observation qu'il n'existe pas d'autre quantité homogène à une longueur parmi les paramètres de la fonction $A$.

EDIT: ils en parlent dans les commentaires de l'article.
EDIT2: voilà le passage en question :

Mon prof d'aéro émettait des remarques sur l'analyse dimensionnelle lors qu'on s'en servait pour chercher l'expression de quelque chose.

Car si on dispose de n paramètres, on peut de débrouiller pour avoir une expression cohérente niveau dimension qui sera (peut être) valide :

• A une constante près ! En physique (et surtout aéro, ca peut changer pas mal de truc). en général, on peut s'en sortir en évaluant le paramètre dans une situation particulière et vérifier la cohérence globale après coup.
• A condition qu'on ait bien listé tous les paramètres pertinents (qui peuvent changer en fonction du domaine du vol…). Et pour ca, y'a pas de solution.

Donc l'analyse dimensionnelle c'est cool (surtout pour vérifier ses calculs) mais ca fait pas de miracle non plus.

On ne parle pas dans la même problématique Davidbrcz.

@Algue : si je comprends bien, ça reste tout de même très ancré dans la physique. D'ailleurs dire que ça se base sur la simple observation physique c'est un peu simple. Aujourd'hui, n'importe quel physicien à bien en tête le théorème de Pythagore, alors on est pas bien sûr qu'on ne se mort pas la queue dans ces idées.

On ne parle pas dans la même problématique Davidbrcz.

C'est dans la continuité du message d'Algue-Rythme et des limites de la méthode, appliquée en maths ou en physique ca change rien