Propriété des opérateurs plus, fois, moins et diviser

Bonjour,

Si on se focalise sur ces quatres opérateurs (sur un ensemble familier du type $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{R}$) et que l'on regarde les deux propriétés suivantes :

• L'associativité : $(a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$
• La commutativité : $a \odot b = b \odot a$

On peut dresser le tableau suivant :

La commutativité dit que l'ordre n'a pas d'importance. On peut mettre l'ordre des arguments dans l'ordre que l'on veut sans que ça pose de soucis.

L'associativité, elle est un peu plus tricky et exprime le fait qu'un opérateur ne va pas dépendre de son contexte.

D'ailleurs, je trouve qu'il est souvent plus simple de vérifier qu'un opérateur est commutatif car cela s'exprime par une certaine symétrie. Alors que pour vérifier l'associativité, avec le peu d'intuition que j'ai, il faut souvent que je reprenne la définition pour m'en convaincre ou bien que je trouve un contre exemple dans le cas contraire.

Ma question porte sur l'intuition. C'est simple de vérifier le petit tableau ci-dessus. Mais comment expliqueriez-vous les résultats de ce petit tableau ? Ou plutôt comment, sans passer par la définition, vous pourriez expliquer que les opérateurs ci-dessus sont ou ne sont pas commutatifs/associatifs ?

Si tu vois $(\mathbb{R}-\{0\},×)$ ou $(\mathbb{Z},+)$ comme un groupe $G$ muni d'une loi $*$, alors la soustraction $a-b$ et la division $a/b$ s'écrivent $a*b^{-1} = (b*a^{-1})^{-1}$. Donc $a-b$ est l'inverse de $b-a$ et $a/b$ celui de $b/a$. Donc la commutativité de $-$ et $/$ entraînerait que $\forall a \in G, a = a^{-1}$, i.e. tous les entiers seraient $0$ et tous les réels seraient $\pm 1$. C'est pas vraiment une explication, mais seuls certains groupes ont cette propriété (les groupes d'ordre $2$) et c'est d'ailleurs indépendant de la commutativité de $+$ et $×$. Pour l'associativité de la division, j'ai pas le courage d'y réfléchir tout de suite (c'est chiant l'associativité…), mais je repasserai plus tard si personne ne s'y est collé.

Je vais parler de la commutativité en termes d'orbites (vu qu'on peut faire facilement des graphes et de jolies dessins, ça devrait mieux passer intuitivement).

Si on imagine un point $x$ et deux actions sur ce point $a$ et $b$. Alors la commutativité dit que faire agir $a$ puis $b$ sur $x$ c'est exactement faire agir $b$ puis $a$ sur $x$. Par exemple, tourner à gauche puis à droite, un pas en avant et en arrière, etc.

L'associativité c'est plus difficile parce que le concept même se ramène difficilement à un groupe. En fait il faut considérer un groupe et son action sur lui même.

Je suis pas super content de mon explication … en plus je dois pencher sur l'associativité (une bonne douche devrait aider).

Mais pour l'associativité j'aurais plutôt tendance à donner un contre-exemple. Genre avec le produit vectoriel ou le crochet de Lie.

Ce que donne Taos explique exactement le comment du pourquoi !

• $a - b = a + (-b) = (-b) + a$
• $a - (b - c) = a + (b + c^{-1})^{-1} \neq (a + b^{-1}) + c^{-1}$
• $a / b = a * (b^{-1}) \neq b * a^{-1} = (a*b^{-1})^{-1}$

Tu fais commuter la loi de composition interne et l'inverse.

Pour finir par un peu de HS intéressant pour voir ce qu'on peut faire avec les groupes et comment définir les choses :

Au départ, à l'aube de l'univers, l'homme apprit à compter, $\mathbb{N}$ était né. https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithm%C3%A9tique_de_Peano

Mais l'homme, dans la fougue de son intellec', voulu non plus seulement ajouter des entiers un a un en taillant dans son baton, mais également retrancher les bêtes qui étaient mortes : le moins était né. Sauf que quel sens donner à $5-7$ ? ce n'est pas un entier de $\mathbb{N}$ ! On crée donc un ensemble plus grand qui contient $\mathbb{N}$ et tous les termes qui manquent : $\mathbb{Z}$. Muni de la notion de groupe, on va alors chercher si $(\mathbb{Z}, +)$ en est un, en cherchant l'inverse de chaque entier :

• Le neutre de l'addition est $0$
• L'inverse de l'addition est $-$

Or par construction, l'inverse d'un entier (donc celui qu'il faut retrancher pour obtenir $0$) est exactement celui qu'on a créé "canoniquement" avec $n \mapsto (-n)$ en créant $\mathbb{Z}$, et toutes les propriétés de groupe sont vérifiées par construction.

Mais l'histoire ne s'arrête pas là, un berger, du nom de Guédy Poulenc, voit une demie vache passer, et se demande alors comment une telle créature pourrait exister dans $\mathbb{Z}$, mais il ne parvient pas à trouver cela. En revanche, il imagine une construction à base de relations d'équivalence, en tombant par hasard sur un anneau de pouvoir :

• $(G,+)$ est un groupe additif commutatif
• $*$ est une loi de composition interne de $G$ associative, distributive par rapport à +, et qui dispose d'un élément neutre dans $G$
• $\sim : G\times G\setminus\{0_G\} \to \{0,1\}$ une relation d'équivalence définie par
  $$\dfrac{p}{q} \sim \dfrac{r}{s} \iff p*s - r*q = 0_G$$
  qui est bien :
• Symétrique : on peut appliquer l'inverse (pour $+$) des deux cotés, l'inverse de $0$ étant $0$, et l'inverse étant involutif $(-(-x) = x)$.
• Réflexive : $p*s - p*s = 0_G$
• Transitive : assez facile encore, ça marche bien

Alors, muni de sa structure qu'il nomme anneau $(A,+,*)$, il va faire jouer sa relation pour diviser le groupe (le quotienter), car $~$ définit alors une partition de $G$ (du fait de la transitivité et de la symétrie). On appelle alors $[A]$ l'ensemble de toutes les classes d'équivalences pour ~, et on montre alors que $([A], +, *)$ est ENCORE un anneau ! Mieux que ça, si l'on s'intéresse à ses inversibles pour la loi $*$, et si $\pi: A \to [A]$ associe la classe d'un élément, ce grand paysan trouve alors que $\pi$ est un morphisme d'anneau (c'est à dire que si on lui fait manger un sous-anneau, il recrache un sous-anneau, donc il préserve la structure et commute avec les lois, i.e $\pi(x+y) = \pi(x) + \pi(y)$ et $(\pi(xy) = \pi(x)*\pi(y)$, bien noter que ce n'est pas la même loi car pas le même anneau). Avec cet anneau, en prenant $G=\mathbb{Z}$, on a :

• $\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps+rq}{qs}$
• $\frac{p}{q}\frac{r}{s} = \frac{pq}{r*s}

Il utilise alors cette vieille astuce de grand-mère pour construire un très grand ensemble : $\mathbb{Q}$.

Mais là, il se rend compte qu'une demie vache, c'est plutot irrationnel comme pensée, et il préfère alors poser des limites sur ce nouvel objet aux pouvoirs si insoupçonnés, et revient ainsi au réel.

Edit : je poste quand même, na