Schéma et algèbre de Boole

Salut à tous.

Je suis débutant en électronique et j'ai trouvé un cours intéressant sur les portes logiques : http://www.ai.univ-paris8.fr/~audibert/ens/6-PORTESLOGIQUES.pdf. J'ai fais les quelques exercices de la partie 6 que voici :

Considérer un porte ET à quatre entrées. Elle ramène 1 lorsque les quatre entrées valent 1, et 0 sinon.

1) En utilisant l’associativité abcd = ((ab)c)d, faire le schéma de cette porte en utilisant uniquement des portes ET à deux entrées.

2) En utilisant l’associativité : abcd = (ab)(cd) faire le schéma de cette porte en utilisant uniquement des portes ET à deux entrées.

3) En utilisant le fait que abcd = $\overline{\overline{(ab)(cd)}}$ et en utilisant une loi de Morgan, montrer que la porte ET à quatre entrées peut être construite avec deux portes NON ET et une porte NON OU, et faire le schéma.

4) Généralisation : En reprenant le procédé du 3), faire le schéma d’une porte ET à 16 entrées en utilisant des portes NON ET et NON OU.

J'ai pas eu trop de problème pour les 3 premières questions mais pour la quatrième je bloque (et il n'y a pas le corrigé). Est-ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la voie ?

Aussi, voici mes réponses. Je ne me suis pas trompé ?

1) Schéma de ((ab)c)d :

2) Schéma de (ab)(cd) :

3) $abcd = \overline{\overline{(ab)(cd)}} = \overline{\overline{(ab)}+\overline{(cd)}}$

Schéma :

Merci d'avance.

Pour la quatrième question, il faut juste réaliser que 4*4=16. Tu as fait, pour la question 3, un schéma qui retourne 1 si 4 entrées valent 1. Le but est de l'utiliser pour faire un shcéma qui retourne 1 si 16 entrées valent 1, et tu peux le faire en divisant ces 16 entrées en groupes de 4.

Ouais je suis parti sur ça aussi et j'en ai déduit ça :

Et du coup l'équation correspondante ce serait :

Mais qu'est ce qui permet d'affirmer que la somme des quatre est la bonne soluti… Aaaaaah mais si, que je suis bête !

Vu que $abcd = \overline{\overline{(ab)(cd)}} = \overline{\overline{(ab)}+\overline{(cd)}}$, ça correspond en fait à faire $(abcd)(efgh)(ijkl)(mnop)$ et là algébriquement c'est limpide.

Je vois mieux le calcul du coup :

$abcdefghijklmnop$

$= (abcd)(efgh)(ijkl)(mnop)$

$= (\overline{(\overline{ab})+(\overline{cd})})(\overline{(\overline{ef})+(\overline{gh})})(\overline{(\overline{ij})+(\overline{kl})})(\overline{(\overline{mn})+(\overline{op})})$

$= \overline{( \overline{(\overline{(\overline{ab})+(\overline{cd})}) (\overline{(\overline{ef})+(\overline{gh})})} ) + ( \overline{(\overline{(\overline{ij})+(\overline{kl})}) (\overline{(\overline{mn})+(\overline{op})})} )}$

Merci.