Le plus petit nombre non descriptible en 25 mots

Bah c'est clairement de l'enculage de mouche (très courant entre étudiant pour savoir qui a la plus grosse).

Dans le même genre je pourrais te répondre que: "non 1 n'est pas un ensemble" mais par contre que "{1} est un ensemble" …

Ah non c'est même pas dans l'esprit de savoir qui a la plus grosse. Chez certain c'est un argument : "comme 1 n'est pas un ensemble blablabla".

Vous avez visiblement un souci en lisant mes posts. Vous inventez une intention que je n'ai pas. J'ai dit tout ça d'en le but de comprendre le sens du mot "nombre" parce que vous avez des idées différentes derrière ce mot. Après si vous voulez parler comme des sourds je m'en vais mais c'est dommage pour la discussion.

Allez, pour continuer dans le pinaillage :). Non, "1" n'est pas un ensemble, c'est une fonction.

En tout cas de ce que je comprends du lien ci-dessus, la théorie des ensembles n'est qu'une des manières de formaliser les maths, le lambda-calcul en est une autre. Donc "1" on ne sait pas ce que c'est, mais on décide de l'interpréter comme un ensemble, une fonction, ou un nombre.

Fini de jouer aux cons ? Nan parce que lire mes posts en entier c'est pas mal aussi.

J'ai tout de suite dit que je me plaçais en théorie des ensembles (ce que quasiment toute la communauté mathématique fait).

Pourquoi pas se mettre dans un autre formalisme. Je suis ouvert y a pas de souci. Mais je serai étonné que ça se passe mieux puisque ce que j'écris vous pose problème alors que c'est dans le formalisme le plus connu.

On se détend, les gens ! Je ne suis pas sûr que ça vaille le coup d'en venir aux insultes/bains de sang/remarques acides qui ne feront qu'empirer la situation. Merci de poursuivre dans le calme.

Bon, si on reprend la conversation du début, de ce que je comprend il n'existe donc pas de définition formelle d'un nombre, c'est ça?

On peut définir formellement une fonction, un espace vectoriel,… mais pas un nombre ! Un nombre entier oui, un nombre complexe oui, un nombre p-adique aussi, mais finalement la notion de nombre n'existe pas en maths. Vrai?

Je ne sais pas s'il en existe une ou non. Je ne sais même pas si on peut se mettre d'accord sur la signification non formelle d'un nombre.

À mon avis, c'est un mot qui manque de sens et qu'on utilise pour tourner joliment les phrases au risque que ça n'ait aucun sens. Un peu comme le "temps" par exemple.

Mais je suis également curieux des différentes façons de voir un nombre (en supposant que ça signifie quelque chose), j'ai donné une approche ensembliste par exemple. Certains définissent "nombre" comme "élément de $\mathbf{R}$" et pour d'autres, c'est plus compliqué (voir le cas des classes de $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ qui n'a pas été tranché par exemple).

Honnêtement, est-ce que c'est vraiment la peine de se prendre le choux pour si peu ?

Merci de répondre de façon constructive, nous sommes sur ce forum pour échanger, pas pour se taillader mutuellement à coup de tessons de bouteilles.

Ce serait triste de devoir fermer ce sujet simplement parce que les gens n'arrivent pas à communiquer calmement à l'aide d'arguments et se sentent obligés de s'insulter.

Modification — Le TeX passe un peu mal, donc j'ai retiré les $ là où ça plante.

Je ne sais pas trop. Le truc, c'est qu'il faut accepter de ne pas accorder d'importance à la terminologie. Par définition, un nombre complexe est un élément de $\mathbb C$. Mais si on n'aime pas l'usage du terme « nombre », on pourrait se contenter d'appeler les éléments de $\mathbb C$ les complexe, ou même autrement. D'une certaine manière, un nombre tout seul, ça n'a pas trop de sens. Un nombre peut être entier naturel, relatif, complexe, p-adique, etc. Il n'y a pas de nombre-tout-court, en un certain sens.

Mais je persiste à penser que la question est biaisée par nature, parce que ce qui compte, c'est la façon dont on comprend les objets. Il n'est pas important que l'on soit d'accord ou pas sur le fait que 3+i \in \mathbb C soit un nombre ou pas. Ce qui compte, c'est ce que l'on s'autorise à faire avec. On peut même prendre un exemple encore plus tordu, avec +\infty. On est tous à peu près d'accord pour dire que ça n'est pas un nombre. Mais en fait on pourrait aussi dire le contraire : on a le droit aux même opérations que dans l'ensemble des entiers naturels. Peu importe le qualificatif, +\infty a ses propriétés propres, et on peut l'appeler comme on veut, cela ne change rien à l'objet. C'est la même chose pour 1, $\pi$, -17 et même $\mathbb R$ ou le paradoxe du barbier.

En general, on parle simplement d'ensemble et de points. Le point etant un element d'un ensemble. L'avantage c'est que c'est generique: dans l'espace des fonctions continues, un point est une fonction continue, dans l'espace des polynomes le point est un polynome, dans l'espace des scalaires un point est une grandeur de dimension 1 pour simplifier, etc. Comme le disais c_pages, en mathematique on ne s'interesse pas au point mais aux relations entre les points. On ne s'interesse pas tellement aux nombres a priori en eux meme.

Cela ne repond pas a la question mais c'est suffisant pour faire des mathematiques depuis des siecles sans pour autant s'auto-complaire dans un exces de formalisme toujours inutile.

Par contre cela permet plus ou moins de repondre a la question dans le cadre de la theorie des ensembles. Soit tu parles du principe que l'on s'en fout parce que pour un ensemble, ce qui importe ce sont des points, soit tu definis qu'un nombre c'est un point d'un certain type d'ensemble avec certaines proprietes. Si on voulait coller a l'intuition on dirait muni d'une relation d'ordre totale (eventuellement avec cardinalite).
On pourrait rajouter quelque chose comme "l'ensemble minimale ayant ces proprietes (minimal au sens de la construction par ces proprietes)" ce qui permettrait d'exclure des constructions plus complexes du style les ensembles quotientes.

Mais je crois qu'il y a de toute maniere quelque chose d'axiomatique a definir ce qu'est un nombre.

Ce sont deux réactions qui se rejoignent et sont à mon avis tout à fait justes mais elles ont également pour conséquence de rejeter la question "est-ce qu'on peut construire un ensemble de nombres sans relation d'ordre totale ?". Pourtant, construire des ensembles pas totalement ordonnés ça paraît assez intéressant à faire.

Est-ce qu'on ne pourrait pas creuser la notion d'opération (puisqu'elle au centre de l'intérêt des "nombres") ? On pourrait peut-être dire qu'un nombre est un élément d'un ensemble ayant un certain nombre d'opérations et dont les propriétés auront été définies. Et à ce moment là, la question posée sera peut-être plus intéressante.

Beaucoup de "peut-être", mais on est pas non plus obligés de fermer la discussion parce qu'on s'est rendu compte que "nombre" est vide de sens. (Ce que j'avais signalé dès le début.)

Tiens, j'aurais une petite question annexe: quand on parle d'espace vectoriel, et de multiplication par un scalaire, est-ce qu'il existe des exemples pour lesquels les scalaires ne sont pas des nombres (dans le sens usuel du mot) ?

Il faut que le scalaire soit pris dans un corps, et que l'on puisse définir les lois qui conviennent. A priori, c'est possible avec $\mathbb Z / p\mathbb Z$ donc on peut se dire que c'est vrai avec n'importe quel corps fini (où là la notion de nombre devient assez ambigüe, malgré qu'on puisse toujours définir une relation d'ordre (il en existe même un nombre fini)) que l'on construit avec la théorie de Galois par quotient de l'anneau des polynomes d'un corps fini par un polynome irréductible du corps. Néanmoins ça a une grande influence sur les théories des codes (cf Stichtenoth), qui, en pratique, traite beaucoup de données numérique, donc là encore la notion de nombre reste ambigüe.

Je confirme c'est tout à fait possible et c'est l'une des raisons (la principale peut-être?) pour lesquelles ont voit souvent précisé "caractéristique du corps différente de 2". Parce que justement sur certains corps la caractéristique n'est pas la même et ça peut poser problème.