Approximation d'une fonction par une série de fonction et orthogonalité des dites fonctions

Salut tout le monde,

Étant temporairement titulaire d’une U.E., je dois présenter à mes étudiants (qui sont loin d’être des matheux!) les séries de Fourier.

Vu qu’il est attendu de moi que je m’intéresse plus particulièrement à l’approximation de fonctions périodiques par des séries de Fourier, une manière de faire (que j’ai empruntée ici) qui vaut ce qu’elle vaut, c’est de dire qu’on cherche à approximer une fonction $f(x)$ par une fonction $g_N(x)$, consistant en une somme de $N$ fonctions $\{\phi_i(x)\}$ multipliée par des coefficients $\{a_i\}$:

$f(x) \approx g_N(x) = \sum_0^N a_i\,\phi_i(x).$

Les fonctions $\{\phi_i(x)\}$ étant choisies par avance, on cherche juste à trouver les coefficients tel qu’on minimise la différence entre $f(x)$ et $g_N(x)$ sur un certain intervalle $[a,b]$. Autrement dit, le problème est:

$\min_{\{a_i\}}\left\{||f(x)-g_N(x)||\right\} = \min_{\{a_i\}}\left\{\left[\int_a^b (f(x)-g_N(x))^2\right]^{\frac{1}{2}}\right\}.$

Et là, les différentes sources que j’ai trouvée précisent que les $\{\phi_i(x)\}$ sont orthogonales, et qu’il en existe quelques exemples, comme les séries de Fourier, les polynomes de Legendre, etc.

Évidemment, dans d’autres sources, on ne s’embarrasse pas de ça et on présentent les séries de Fourier en rappelant simplement qu’un espace vectoriel a certaines propriétés, qui sont aussi bien valables pour des vecteur que pour des fonctions. Sauf que mes étudiants n’ont jamais vu les espaces vectoriels ! Il s’agira en fait de leur première rencontre avec des fonctions orthogonales

Dans les deux cas, l’orthogonalité des fonctions $\{\phi_i(x)\}$ est prise pour acquise et son intérêt n’est jamais réellement justifié (c’est cool, mais est ce que c’est vraiment un avantage pour l’approximation des fonctions?¹). J’aimerai donc savoir si vous aviez des idées d’arguments à exposer, sachant que les étudiants ne manqueront pas de faire la comparaison avec les séries de Taylor, qu’ils connaissent bien.

D’avance merci

EDIT: dit autrement: est ce que ça poserai problème si les fonction $\phi_i(x)$ n’étaient pas orthogonales?

Oui en effet, ça fait sens

Par contre, on est d’accord qu’une série de Taylor est une décomposition sur une base de fonctions qui n’est pas orthogonale ?

(ceci dit, une série de Taylor n’est pas vraiment une décomposition, quoiqu’elle y ressemble furieusement)

Une série de Taylor n’est pas une décomposition dans le sens où tu l’as défini comme un problème de minimisation. C’est en revanche une décomposition (pour les fonctions analytiques) dans le sens plus général d’écrire une fonction comme une somme ou une série de fonctions de base avec des coefficients scalaires.

Et effectivement, je ne crois pas qu’il existe de produit interne tel que les différents termes d’une série de Taylor soient orthogonaux entre eux, et en tout cas on les manipule jamais à coup de produit scalaires.

Selon la formation desdits étudiants, le présenter comme un outil magique (ou plus exactement : « Voici comment vous pouvez utiliser l’outil, la démonstration de pourquoi ça marche est ici pour qui ça intéresse ») peut très bien être une solution acceptable.

Par exemple, j’ai étudié les séries de Fourier pendant mon DUT GEII, et je ne crois pas avoir jamais croisé la notion de « fonction orthogonale » (je serais incapable de te dire si les espaces vectoriels sont arrivés avant ou après dans le programme, par contre). C’est typiquement le genre de formation où le besoin c’est de savoir utiliser l’outil et de le faire correctement, le « pourquoi ça marche » n’est qu’un bonus. Alors oui, ça fait hurler certains mathématiciens et profs de maths, mais en pratique c’est plus efficace que les cours de l’autre prof de maths, à la fin desquels tu savais recracher une démonstration apprise par cœur sans savoir utiliser l’outil.

Salut,

Pour compléter la réponse de @Spacefox, je suis dans un cas un peu similaire: les étudiants vont voir les séries de Fourier avec moi (et en physique) pour le coté "utilitaire" de la chose, avant d’entendre parler "d’espace vectoriel" dans la seconde partie de cette année en … Chimie Quantique (d’ailleurs, c’est marrant que tu aie choisi la notation en braket pour le produit scalaire ). En effet, le cours de chimie quantique commence par quelques rappels d’algèbre linéaire, dans lequel on fait sentir (même si pas rigoureusement) la notion d’espace vectoriel.

Du coup, j’ai profité de mon dimanche pour faire mes slides sur cette partie, et je me rend compte que j’ai adopté une approche similaire à celle que tu proposes, @Aabu: je commence par faire ce que tu présente avec des vecteurs et un ou l’autre schéma, puis j’introduis la notion de produit scalaire pour les fonctions et la notation braket (d’une pierre deux coup, puisqu’il l’utiliseront plus tard en quantique), puis je présente les séries et coefficients de Fourier en faisant le parallèle avec les vecteurs.

En tout cas, je te remercie pour ton post, @Aabu, je pourrais ainsi vérifier ce que j’ai raconté

Peut-être qu’une analogie (mathématiquement correcte) utile est entre la covariance de deux variables aléatoires et la transformée de Fourier.

Essentiellement on parle de la même chose : le coefficient de Fourier d’une fréquence $\theta$ choisie pour une fonction c’est la covariance de cette fonction avec $\exp(i \theta)$.

Dans l’autre sens : la covariance de deux variables aléatoires c’est bien un produit scalaire