Vitesse et position à partir du repère de Frenet

Bonjour,

Mes cours de cinématique remontent à assez longtemps donc je me permet de vous poser la question ici directement.

Mon objectif est de pouvoir calculer une position et une vitesse à un instant donné sur une trajectoire pour un logiciel de visualisation que je développe. Pour cela, je donne en paramètre une position initiale ($x_0$, $y_0$), une vitesse initiale ($\dot{x_0}$, $\dot{y_0}$) et les normes des accélérations normale et tangentielle ($N$, $T$).

Comment est-ce que je peux obtenir ma position à un instant $t$ donné ($x_t$, $y_t$) ainsi que ma vitesse ($\dot{x_t}$, $\dot{y_t}$) ?

Merci pour votre aide.

Ça va dépendre de tes fonctions d’accélération. Si elles sont trop complexes tu ne pourras pas calculer de solution et il vaudra mieux passer par des techniques d’approximations numériques

J’ai peut-être oublié d’indiquer que l’accélération est constante. Désolé

Techniquement, il faut que tu puisses effectuer une régression linéaire sur ta formule. Une solution plus coûteuse en mémoire mais moins compliqué à mettre en oeuvre, ce serait de pré-calculer ta suite.

Je peur de ne pas comprendre ton message @Yarflam. Dois-je en conclure qu’il n’est pas possible d’exprimer la position et la vitesse de mon objet en tout instant $t$ et qu’il faut passer par un ode solver pour trouver la solution ?

Est-ce que tu peux nous donner tes équations ?

Excusez-moi, j’ai du mal m’exprimer. Je cherche justement ces équations. J’ai une position et vitesse initiales et les valeurs de l’accélération qui est constante ($N$ pour le vecteur normal et $T$ pour le vecteur tangentiel).

Manque t-il quelque chose pour exprimer une équation ?

Pour t’aider au mieux, commence par écrire ton accélération on regardera ensemble pour les intégrer

Bonjour,

Dans ton énoncé ce n’est pas clair si $T$ et $N$ sont vraiment constant ou si ils sont "constant" par rapport à $V(t)$.

Dans tous les cas, soit $A$ est l’accelaration avec $A=T+N$

en regardant suivant l’axe $x$ (c’est la même chose suivant $y$) on a $dx/dt = Vx(t)$ et $d^2x/dt^2 = Ax(t)$ avec en condition initiales $x(0)=x_0$ et $Vx(0)=v_0$.

De mémoire (c’est vieux tout ca pour moi ) si $A$ est une constante on à une solution simple du type $x(t)=a.t^2 + b.t + x_0$ ou $x(t)=a.e^{b.t}+x_0$ (avec $a$ et $b$ les constantes à calculer dans les 2 cas), par contre si $A_x$ varie (les orientation de $N$ et $T$ dependent de $V(t))$ l’equation différentielle est la même mais sa solution est plus complexe.

Sur le site tu as le tutoriel Simulez des systèmes physiques avec la méthode d’Euler qui pourrait t’aider, il explique (partiellement) les méthodes de resolution mathématique et donne des méthodes de resolution approchées efficaces.

Tout dépend des contraintes et de la complexité de ton équation.

Une formule d’accélération du style : $Pxy = Pxy + Vxy * A$ (pour Position, Vecteur, Accélération et Temps).

C’est du gâteau : $f(T) = P_0 + Vxy * A^T$

Par contre, en exemple, si tu dois calculer une balle rebondissante contrainte dans un espace … c’est tout de suite moins évident !

Okay je vois ce que vous voulez dire.

Je vais exprimer mon problème un peu mieux. Mon but est de tracer une série de trajectoires. Pour ça, j’itère sur un domaine de normes d’accélérations normales et tangentielles. Tout ce que je sais, c’est que sur la trajectoire, les normes de mes accélérations normale et tangentielle sont constantes, elles ne varient pas. Si la norme de mon accélération normale est nulle, alors j’imagine ma cible faire une ligne droite. Si elle est non nulle, je l’imagine dessiner une courbe dans un sens ou dans l’autre, en fonction de son signe. À l’instant $t$ et à l’instant $t + x$, les normes des accélérations normale et tangentielle n’ont pas changées. Par contre, j’imagine que les vecteurs normal et tangentiel, eux, ont changés comme ils ont leurs origines sur la cible.

Je n’ai donc pas d’équations. Mon but est de pouvoir, sur ces trajectoires, déterminer à n’importe quel instant la position et la vitesse qu’aurait une cible en suivant une de ces trajectoires en coordonnées cartésiennes.

Je pense savoir exprimer la norme de ma vitesse à n’importe quel instant :

J’imagine qu’il doit y avoir un moyen d’exprimer la direction du vecteur vitesse, ce qui me donnerait des coordonnées polaires qu’il me suffirait de convertir en coordonnées cartésiennes ?

Oui, quelque chose comme ça :

$x_{v}(t) = x_{v_0} + cos(T) * At$

$y_{v}(t) = y_{v_0} + sin(T) * At$

Exemple GeoGebra

Edit : j’ai changé un peu le graphique. GeoGebra c’est bien mais … ça ne fait pas toujours ce qu’on veut et ma représentation en l’occurrence n’était pas parfaite.

@Yarflam tu peux justifier ?

Ça me semble pas si simple d’obtenir une solution. (Et si par $x_v$ et $y_v$ tu parles des positions alors c’est une solution fausse à coup sur car la dérivée devrait donner un vecteur de vitesse dont la norme augmente)

@etne :

l’expression de ta vitesse est bonne.

En fait tu peux obtenir facilement la distance parcouru à un instant $t$ :

$s(t) = \int_0^t v(t')dt'$

Mais ça t’avance pas beaucoup

Pour la vitesse dans le repère cartésien c’est plus tordu… Il faut partir de l’étude des vecteurs unitaires porté par le repère de Frenet. Là comme ça je vois pas trop.

Tu confirme que tes accélérations normale et tangentielle sont bien constante ? (Si lle ne le son pas c’est bien comme l’a dit Holosmos une resolution numerique)

Par curiosité pourquoi dois tu résoudre ce probleme ? (il me parait très peu physique)

Salut,

Tu confirme que tes accélérations normale et tangentielle sont bien constante ? (Si lle ne le son pas c’est bien comme l’a dit Holosmos une resolution numerique)

J’ai peur que quand tu me demandes si mes accélérations sont constantes, tu signifies que les vecteurs ne changent pas. Donc oui, les normes des vecteurs accélérations normale et tangentielle sont constantes. Leurs vecteurs par contre ne le sont pas car la cible se déplace et donc les vecteurs avec car ils sont définis dans un repère local.

Par curiosité pourquoi dois tu résoudre ce probleme ? (il me parait très peu physique)

Je vais éviter d’en dire trop, désolé. Mais je dois calculer un ensemble de trajectoires à partir des conditions initiales données dans mon premier message et vérifier sur ces trajectoires certaines hypothèses à certains instants $t$ qui impliquent de connaître la position et la vitesse à ces instants donnés.

je reformule pour que ce soit plus clair et sans ambiguïté :

Est ce que dans ta base de frenet ton accéleration est bien toujours : $\vec a = T \hat t + N \hat n$ ou $\hat t$ et $\hat n$ sont les vecteur unitaire tangent et normale a ta trajectoire et ou $T$ et $N$ sont constant en fonction du temps $t$ et de la position (exprimé dans un repère global) ?

Si oui c’est peut etre solvable (mais je sais pas) par contre ca me semble pas une condition très réel physiquement parlant (mais j’y ais pas reflechis plus que ca).

Je regarde le vecteur vitesse en 2D dans le plan complexe pour simplifier un peu les notations (on pourrait faire le même raisonnement avec des matrices 2x2). Disons qu’initialement la vitesse est $(1,0)$. Il y a des choses un peu embêtantes qui se passent si la vitesse s’annule, mais en général le vecteur unitaire tangentiel c’est juste $v/|v|$. Du coup, avec $z = a_T+ia_N$ qui représente l’accélération dans le repère de Frenet, l’accélération dans le repère cartésien c’est $zv/|v|$. Ca donne une équation différentielle sur la vitesse de la forme

$|v|\frac{dv}{dt}=zv,$

et en bidouillant un peu, une solution qui marche avec mes conditions initiales c’est $v(t)=(1+ta_T)^{1+ia_N/a_T}$, soit

Je ne sais pas quelle est la signification physique de cette chose-là.