Différentielle d'une fonction complexe élémentaire

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour à tous !

Notons   f:C→C:z↦zf : \mathbb C \to \mathbb C : z \mapsto z   la fonction complexe identité et   0:C→C:z↦00 : \mathbb C \to \mathbb C : z \mapsto 0   la fonction complexe nulle.
Notons également z∗z^* le complexe conjugué de zz.

Je ne comprends pas bien pourquoi :   ∂f∂z∗=0\dfrac{\partial f}{\partial z^*} = 0

En effet, si cette différentielle est nulle, cela signifie que ff n’est pas une fonction de z∗z^*.
Cela se « voit », certes, mais quelque chose m’échappe.

Intuitivement, pour moi, les deux variables zz et z∗z^* ne sont pas indépendantes : si on modifie la valeur de zz, alors celle de z∗z^* l’est aussi en toute généralité. Par conséquent, la différentielle ne devrait pas être nulle. Si je fais « un pas » dans la direction z∗z^*, la fonction ff reste-t-elle réellement inchangée ?

Je cherche surtout à comprendre le concept, ou au moins une intuition de cette différentielle.
Côté mathématique, je suis d’accord avec les équations.

Sorry pour les notations pompeuses, mais j’ai besoin de ces notations précises pour m’aider à comprendre ces petites subtilités.

edit Holosmos : j’ai modifié la faute d’orthographe dans le titre

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Salut,

Je pense que la chose la plus importante à constater est la suivante :

Une fonction f ⁣:U→Cf\colon U \to \mathbf C est holomorphe si et seulement si

∂f∂z‾=0.\frac{\partial f}{\partial \overline z} = 0.

Pourquoi? Déjà on peut prendre des coordonnées réelles z=x+iyz=x+iy et écrire :

∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)\frac{\partial}{\partial z} = \frac 12 \left(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\right)

∂∂z‾=12(∂∂x+i∂∂y)\frac{\partial}{\partial \overline{z}} = \frac 12\left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right)

et on constate que

∂∂z+∂∂z‾=∂∂x\frac\partial{\partial z} + \frac\partial{\partial \overline z} = \frac{\partial}{\partial x}

et

∂∂z−∂∂z‾=−i∂∂y\frac\partial{\partial z} - \frac\partial{\partial \overline z} = -i\frac{\partial}{\partial y}

ce qui explique (plus ou moins bien) ces notations.

Maintenant, l’équation de Cauchy-Riemann dit exactement :

i∂f∂x=∂f∂yi\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}

ce qui est équivalent à l’équation

−∂f∂x=i∂f∂y  ⟺  ∂f∂x+i∂f∂y=0  ⟺  ∂f∂z‾=0.-\frac{\partial f}{\partial x} = i \frac{\partial f}{\partial y} \iff \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y}=0\iff \frac{\partial f}{\partial \overline z} = 0.

Intuitivement, pour moi, les deux variables zz et z∗z^* ne sont pas indépendantes 

Elles le sont :

∂z∂z‾=∂x+iy∂z‾=12(∂x+iy∂x+i∂x+iy∂y)=12(1+i⋅i)=0\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial \overline z} &= \frac{\partial x+iy}{\partial \overline z} \\ &=\frac 12 \left( \frac{\partial x+iy}{\partial x} + i \frac{\partial x+iy}{\partial y}\right)\\ &= \frac 12( 1 + i \cdot i) = 0 \end{aligned}

Que dit l’équation de Cauchy-Riemann ?

Cette équation dit que la différentielle de ff est une similitude (ou est nulle). En d’autres termes, si je regarde la différentielle de f=f1+if2f = f_1 + i f_2 :

df=(∂f1∂x∂f2∂x∂f1∂y∂f2∂y )d f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial x} \\ \frac{\partial f_1}{\partial y} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}

alors le fait que c’est une similitude, c’est à dire une transformation complexe df=reiθdf = r e^{i\theta} dit que l’on cherche quand est-ce que dfdf vérifie :

df=(r00r)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)df = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}

et cela se traduit donc par :

df=(rcos⁡θ−rsin⁡θrsin⁡θrcos⁡θ)df = \begin{pmatrix} r \cos\theta & - r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}

et donc les équations à vérifier sont :

∂f1∂x=∂f2∂y\frac{\partial f_1}{\partial x} = \frac{\partial f_2}{\partial y}

∂f1∂y=−∂f2∂x\frac{\partial f_1}{\partial y} = - \frac{\partial f_2}{\partial x}

ce qui, en reprenant f=f1+if2f= f_1+ i f_2 donne l’équation de Cauchy-Riemann :

∂f∂x=∂f1∂x+i∂f1∂y=∂f2∂y−i∂f2∂x=−i∂f∂y\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial f_1}{\partial x} + i \frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial y} - i \frac{\partial f_2}{\partial x} = -i\frac{\partial f}{\partial y}

Remarques :

  • Les équation précédentes expliquent donc pourquoi une application holomorphe de dérivée non nulle est conforme (c’est-à-dire préserve les angles) : c’est parce que c’est le produit d’une dilatation (non nulle) avec une rotation !
  • Dire que l’on est une similitude pour dfdf est la même chose que de dire que dfdf est un nombre complexe. Donc dire "avoir une dérivée complexe" signifie bien que dfdf soit une similitude. En effet, un nombre complexe s’écrit toujours reiθre^{i\theta} et c’est bien ce qu’on a étudié…
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D’accord, merci, je comprends mieux pour la différentielle.

Je n’ai juste pas bien compris pourquoi zz et z∗z^* sont indépendantes.
Mathématiquement, je comprends les équations. Intuitivement, je ne comprends pas.

Pour moi, deux variables sont indépendantes ssi la valeur d’une variable n’influence pas celle de l’autre variable. Par exemple, x et y sont des variables indépendantes dans un repère cartésien parce que y peut prendre n’importe quelle valeur sans se soucier de x.

Il n’en va pas de même pour zz et z∗z^* : si je pose la valeur de zz, alors celle de z∗z^* est connue.
Donc, z∗z^* ne peut pas prendre n’importe quelle valeur indépendamment de zz.
Et donc, j’en déduis que ces deux variables ne sont pas indépendantes.

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Je n’ai juste pas bien compris pourquoi zz et z∗z^* sont indépendantes.
Mathématiquement, je comprends les équations. Intuitivement, je ne comprends pas.

En fait zz et z‾\overline z fournissent une base réelle de R2\mathbf R^2, et pas une base complexe de C\mathbf C (qui est de dimension complexe 1). En termes de vecteurs (d’après la définition de la dérivation), ça serait x+yx+y et x−yx-y. Et (1,1)(1,1), (1,−1)(1,-1) c’est bien une base de R2\mathbf R^2.

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